高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布图片课件ppt

www.ks5u.com4.2.3　二项分布与超几何分布

第1课时　n次独立重复试验与二项分布

1．n次独立重复试验

在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．

思考：独立重复试验必须具备哪些条件？

[提示]　(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；

(2)各次试验结果互不影响；

(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．

2．二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，

而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，

因此X的分布列如下表所示．

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种． (　　)

(2)两点分布是特殊的二项分布．  (　　)

(3)二项分布可以看作是有放回抽样． (　　)

(4)n次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于(　　)

A．C×0.88×0.22　　 B．C×0.82×0.28

C．0.88×0.22 D．0.82×0.28

A　[∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝8)＝C×0.88×0.22，故选A.]

3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．

　[抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝C＝.]

4．下列说法正确的是________．(填序号)

①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；

②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；

③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.

①②　[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]

【例1】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．

(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．

[解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验．

故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.

(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则

P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝.

由于甲、乙射击相互独立，故

P(A2B2)＝×＝.

独立重复试验概率求法的三个步骤

【例2】　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.

(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．

[思路点拨]　(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．

[解]　(1)ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)

＝C，k＝0,1,2,3,4,5.

故ξ的分布列为

(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝·，k＝0,1,2,3,4；

P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝.

故η的分布列为

1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.

2．解决二项分布问题的两个关注点

(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．

1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；

(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．

[解]　(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋∩”，且事件A，B相互独立．

∴P(A∩B＋∩)＝P(A)P(B)＋P()P()

＝×＋×＝.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B.

∴P(ξ＝k)＝C

＝C(k＝0,1,2,3,4)．

∴随机变量ξ的分布列为

[探究问题]

1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？

[提示]　服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．

2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？

[提示]　不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．

【例3】　甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列；

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

[思路点拨]　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝.

(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．

[解]　(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且

p(ξ＝0)＝C＝，

P(ξ＝1)＝C＝，

P(ξ＝2)＝C＝，

P(ξ＝3)＝C＝.

所以ξ的分布列为

(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，

又P(C)＝C＝，

P(D)＝C＝，

由互斥事件的概率公式得

P(AB)＝P(C)＋P(D)

＝＋＝＝.

对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.

2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．

[解]　因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为＝，所以单个坑不需要补种的概率为1－＝.

设需要补种的坑数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，

P(X＝0)＝C××＝，

P(X＝1)＝C××＝，

P(X＝2)＝C××＝，

P(X＝3)＝C××＝，

所以需要补种坑数的分布列为

1．独立重复试验的基本特征

(1)每次试验都在同样条件下进行．

(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．

(3)各次试验之间相互独立．

(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的．

2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义

1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

A　[记“恰有1次获得通过”为事件A，

则P(A)＝C·＝.故选A.]

2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)

A．C× B．C×

C.×   D.×

C　[ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是×.]

3．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．

　[所有同学都不通过的概率为，故至少有一位同学通过的概率为1－＝.]

4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．

或　[P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，

即p2(1－p)2＝·，解得p＝或p＝.]

5．(教材P79练习BT1改编)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两位小数)：

(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；

(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．

[解]　(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.

5次预报相当于5次独立重复试验．

“恰有2次准确”的概率为

P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，

因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为

P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72.

所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.

所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.