人教B版高中数学选择性必修第二册4.2.4《离散型随机变量的均值》（第1课时）（课件+教案）

www.ks5u.com4.2.4　随机变量的数字特征

第1课时　离散型随机变量的均值

1．均值或数学期望

(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．

则称

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．

(2)意义：它刻画了X的平均取值．

(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)，

则E(Y)＝aE(x)＋b.

拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系

加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)．

故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.

2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值

(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p.

(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；

(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．

  (　　)

(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (　　)

(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4. (　　)

(4)随机变量X的均值E(X)＝. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．若随机变量X的分布列为

则E(X)＝(　　)

A．0　　　　　 B．－1

C．－ D．－

C　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－＋＝－.故选C.]

3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.

35　[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]

4．(一题两空)若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________.

　　[E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝.]

【例1】　(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　)

A．3　　　 B．4　　　

C．5 D．2

(2)(一题两空)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则

①投篮1次时命中次数X的数学期望为________；

②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________．

(1)A　(2)①0.6　②3　[(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7,2，x), E(ξ)＝＝，∴x＝3.故选A.

(2)①投篮1次，命中次数X的分布列如下表：

则E(X)＝0.6.

②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.]

常见的三种分布的均值

1．设p为一次试验中成功的概率，则

(1)两点分布E(X)＝p；

(2)二项分布E(X)＝np.

2．超几何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)．

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．

1．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．

(2)设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·· (k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.

(1)0.8　(2)100　[(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.

(2)由P(X＝k)＝C··，

可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.]

【例2】　已知随机变量X的分布列为

若Y＝－2X，则E(Y)＝________.

　[由随机变量分布列的性质，得

＋＋＋m＋＝1，解得m＝，

∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.

由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，

即E(Y)＝－2×＝.]

若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出EX，再利用公式EaX＋b＝aEX＋b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得Eξ.

2．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)

A.　　　 B. 

C.　　　 D.

A　[因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，

即E(η)＝12＋7＝34.

所以2m＋3n＝，①

又＋m＋n＋＝1，

所以m＋n＝，②

由①②可解得m＝.]

【例3】　在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．

[思路点拨]　(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．

[解]　只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．

(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－

＝1－＝.

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.

从而知ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤

(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值．

(2)求出ξ的每个值的概率．

(3)写出ξ的分布列．

(4)利用定义求出数学期望．

其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．

3．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望．

[解]　X可取的值为1,2,3，

则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，

P(X＝3)＝××1＝.

抽取次数X的分布列为

E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

[探究问题]

1．如果某篮球运动员的罚球命中率为0.7，则其罚球10次大约能命中几个球？

[提示]　10×0.7＝7个球．

2．在实际问题中，为什么用样本均值来估计总体均值？

[提示]　随机变量总体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随样本的不同而变化，但当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体的均值，故我们常用样本均值估计总体均值．

【例4】　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.

(1)求X的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

[思路点拨]　→→

→

[解]　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.

P(X＝6)＝＝0.63，

P(X＝2)＝＝0.25，

P(X＝1)＝＝0.1，

P(X＝－2)＝＝0.02.

故X的分布列为

(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.

(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为

E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．

依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，

解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.

1．实际问题中的期望问题

均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计．

2．概率模型的三个解答步骤

(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．

(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望．

(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．

4．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．

(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；

(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．

[解]　(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35，

所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.

同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.

P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.

(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×

0.35＝8.8，

E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，

则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．

1．求离散型随机变量均值的步骤：

(1)确定离散型随机变量X的取值；

(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；

(3)根据公式写出均值．

2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．

3．若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，若随机变量Y～H(N，n，M)，则E(Y)＝.

1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是(　　)

A．0.83　　　 B．0.8　　　

C．2.4 D．3

C　[E(X)＝3×0.8＝2.4.]

2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是(　　)

A．n　 B．(n－1)

C. D．(n＋1)

C　[∵抽到的次品数X～H(N，n，M)，

∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝.]

3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．

0.4　[依题意得

即解得y＝0.4.]

4．已知E(X)＝，且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a＝________.

－3　[∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，∴a＝－3.]

5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．

[解]　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.

(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.

故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.

(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为

(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.

∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.

∴X的均值是20.