高中数学第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.5 空间中的距离完美版ppt课件

课后素养落实(八)　空间中的距离

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　)

A．2　　　B．　　　　C．　　　　D．

C　[取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则E，F(0，0，2)，所以＝，EF＝||＝＝．]

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A．　　　B．　　C．　　　D．

B　[建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0，2，0)，＝(0，1，2)．

∴cos θ＝＝＝．∴sin θ＝＝．

故点A到直线BE的距离d＝||sin θ＝2×＝．故答案为B．]

3．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)

A．1 B．

C． D．

B　[建立如图所示的空间直角坐标系，

A(2，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)，

E(2，2，0)，则＝(－2，0，2)，

＝(0，－4，2)，＝(－2，－2，2)．

设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，

则∴

令y＝1，则z＝2，x＝2，

∴n＝(2，1，2)，∴d＝＝＝．]

4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)

A．a　　B．a　　　C．a　　　D．a

D　[由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1， 则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝＝＝a．]

5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为(　　)

A．a　　　B．a　　C．a　　　D．a

B　[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得

E，

F，

故＝，

＝(a，0，0)，＝(0，a，a)．

设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，

由⇒

令z＝1，得n＝(0，－1，1)．

∵·n＝·(0，－1，1)＝0，

∴⊥n，故EF∥平面ABC1D1．

又＝，

∴·n＝·(0，－1，1)＝a，

∴d＝＝a．]

二、填空题

6．已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．

2　[设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2．]

7．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________．

　[建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝．

＝(1，0，0)，·＝，

所以P点到AB的距离为d＝＝＝．]

8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．

　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝，＝(0，1，0)，

＝(0，1，－1)．

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，

则有

解得n＝，则所求距离为＝＝．]

三、解答题

9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D．

(1)求BP的长；

(2)求点P到平面EC1D的距离．

[解]　(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，

C1(1，2，0)，

设P(a，b，1)，＝λ，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，

则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，

∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)，

设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，

则取x＝1，得n＝(1，－1，1)，

∵PF∥平面EC1D，

∴·n＝λ－1＋2λ＝0，

解得λ＝，

∴P，

∴BP的长||＝＝．

(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1，1)，＝，

∴点P到平面EC1D的距离d＝＝＝．

10．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

[解]　(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，

所以OP⊥AC，且OP＝2．

连接OB，如图．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2．由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC．

(2)如图所示，以O为原点，直线OB为x轴，直线OC为y轴，直线OP为z轴，建立空间直角坐标系，

因为MC＝2MB，

所以M点坐标为，C(0，2，0)，P(0，0，2)，O(0，0，0)，＝(0，0，2)，＝，设平面POM的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则可得平面POM的一个法向量为m＝(1，－2，0)．又＝(0，2，0)，所以点C到平面POM的距离d＝＝．

1．设ABC­A′B′C′是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面ABB′A′的中心点，则P到侧面ACC′A′的对角线的距离是(　　)

A． B．

C． D．

C　[法一：如图，连接A′B，在△A′BC中，过P作PH⊥A′C，垂足为H．A′B＝，A′C＝，BC＝1，则由余弦定理知cos∠BA′C＝，从而sin∠BA′C＝，∴PH＝A′P·sin∠BA′C＝×＝．即P到侧面ACC′A′的对角线的距离是．

法二：如图，连接AB′，以A′为坐标原点，，的方向分别为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意知A′(0，0，0)，

A(0，0，1)，B′，C(1，0，1)，＝(1，0，1)．

∵P是侧面ABB′A′的中心点，即AB′的中点，∴P，

则有＝．

故在上的投影的大小为＝，

∴P到侧面ACC′A′的对角线的距离d＝＝．]

2．如图所示，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)

A． B．

C． D．

C　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，

B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)．

根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，

则PQ＝

＝

＝，

当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值．]

3．如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A­BE­C的余弦值为________．

　　[如图，以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，

A(1，0，0)，E(0，，1)，

过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，

∴B(1，2，0)，

∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．

设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则

得

∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．

∵＝(0，0，2)，

∴A1B1到平面ABE的距离d＝＝＝．

又B1(1，2，2)，∴＝(0，0，2)，＝(1，，0)．

设平面BCE的一个法向量为n＝(x′，y′，z′)，易得x′＝－y′，z′＝0，取n′＝(，－1，0)，n′与n所成的角为θ，

则cos θ＝＝＝．]

4．设棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M在棱C1C上滑动，则点B1到平面BMD1的距离的最大值是________．

a　[如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D1(0，0，a)，B(a，a，0)，B1(a，a，a)，设M(0，a，b)(0≤b≤a)，则＝(0，0，a)，＝(－a，0，b)，＝(－a，－a，a)，设平面BMD1的法向量为n＝(x，y，z)，则

即令x＝b，得平面BMD1的一个法向量为n＝(b，a－b，a)，

∴点B1到平面BMD1的距离为d＝＝＝，当b＝a时，d取最大值，即dmax＝a．]

已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，点E，F分别为PA，PD的中点．问在CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由．

[解]　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，2，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，从而＝(0，1，0)，＝(0，0，－1)．

假设在CD上存在一点Q满足条件，设点Q(x0，2，0)，其中0≤x0≤2，则＝(x0，2，－1)，设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，得平面EFQ的一个法向量为n＝(1，0，x0)，所以点A到平面EFQ的距离为＝＝，解得x0＝，所以点Q，所以＝，则||＝．所以在CD上存在一点Q满足条件，且CQ的长为．