人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质精品ppt课件

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2.5.2　椭圆的几何性质学 习 任 务核 心 素 养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)　通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．根据开普勒三大定律，地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳处在这个椭圆的一个焦点上．在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点，在近日点时距离太阳14 710万千米．在远日点时距离太阳15 210万千米．事实上，很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆．如神舟九号飞船，于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空，之后进入近地点高度200千米，远地点高度329.8千米的椭圆形轨道，然后进行了5次变轨，两天后与天宫一号交会对接成功，这是中国实施的首次载人空间交会对接．知识点1　椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝(0＜e＜1)1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c．2．椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？[提示]　在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形，Rt△OB2F2也叫椭圆的特征三角形．1．(1)椭圆＋＝1的焦点坐标是________，顶点坐标是________．(2)椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)A．　 　　B．　　　C．　 　　D．(1)(0，±)　(±3，0)，(0，±4)　(2)A　[(1)由方程＋＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．因此焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(±3，0)，(0，±4)．(2)化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．所以e＝＝．]知识点2　椭圆离心率e的几何意义椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度．当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b＝越趋近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2＋y2＝a2．3．或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？[提示]　或的大小能刻画椭圆的扁平程度．(1)当→1时，b→a，椭圆越圆；当→0时，b→0，椭圆越扁．(2)当→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆；当→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁．2．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)．    ①　[x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝．因为e1＞e2，所以①更扁．] 类型1　已知椭圆方程研究其几何性质【例1】　求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．[解]　把已知方程化成标准方程＋＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．[跟进训练]1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]　将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝2，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝＝． 类型2　利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．[解]　(1)将方程4x2＋9y2＝36化为＋＝1，可得椭圆焦距为2c＝2．又因为离心率e＝，即＝，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1．(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．若椭圆焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有解得所以标准方程为＋＝1．若椭圆焦点在y轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有解得所以标准方程为＋＝1．利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：1求出a2，b2的值；2确定焦点所在的坐标轴；3写出标准方程.在求解a2，b2时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程组加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.[跟进训练]2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：   (1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4．∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1．(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，2c＝6，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1． 类型3　求椭圆的离心率【例3】　(对接教材人教B版P132例2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．求椭圆离心率的关键是什么？[提示]　根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．[解]　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．依题意设A点坐标为，则B点坐标为，∴|AB|＝．由△ABF2是正三角形得2c＝×，即b2＝2ac．又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2得×＋2×－＝0，解得e＝＝．1．(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？[解]　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，则B点坐标为，∵B点在椭圆上，∴＋＝1，解得y＝4b2－，由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，即c4－8a2c2＋4a4＝0，两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1．2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．[解]　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由题意知A在椭圆上，∴＋＝1，解得e＝．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．[跟进训练]3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．D　[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示， 过点P作x轴的垂线，垂足为B．设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴点P的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过A且斜率为的直线上，∴＝，∴a＝4c，∴＝，即椭圆C的离心率e＝．]1．椭圆＋＝1的离心率(　　)A．　　B．    C．    D．A　[a2＝16，b2＝9，c2＝7，从而e＝＝．]2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)A．＋＝1   B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1A　[由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72．又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1．]3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)A．  B．2  C．  D．4C　[椭圆x2＋my2＝1化为标准形式为：x2＋＝1．因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝4，所以m＝．]4．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：①焦距为n－m；②短轴长为；③离心率e＝．其中正确说法的序号为________．①③　[由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，∴2b＝2＝2，e＝，故①③正确，②不正确．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？[提示]　椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点坐标、焦点坐标等与位置有关．2．a，b，c对椭圆形状有何影响？[提示]