数学选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质完整版ppt课件

课后素养落实(二十四)　抛物线的几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A．　　　B．1　　　　C．　　　　D．

C　[由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝＋＝xA＋xB＋p＝3，故xA＋xB＝3－p＝，故线段AB的中点到y轴的距离为．]

2．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)

A．2　　B．1　　C．4　　D．8

C　[抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4．]

3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，面积为(　　)

A．2　　B．4　　C．6　　D．4

D　[据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，

∴PM垂直抛物线的准线，设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|得1＋＝，得m2＝12，

∴等边三角形的边长为4，其面积为4．]

4．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

B　[由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，

∴A到准线x＝－的距离为xA＋，

B到准线x＝－的距离为xB＋，

∴线段AB的中点到准线的距离为＋，

∴线段AB的中点到y轴的距离为＝1，

即xA＋xB＝2，

由抛物线定义，|AF|＝＋xA，

|BF|＝＋xB，

∴|AB|＝xA＋xB＋p＝4，

即xA＋xB＝4－p，

∴4－p＝2，即p＝2．]

5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)

A．－4　　B．4　　C．p2　　D．－p2

A　[①若焦点弦AB⊥x轴，  

则x1＝x2＝，∴x1x2＝，

∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，

∴＝－4．

②若焦点弦AB不垂直于x轴，

可设AB的直线方程为y＝k，

联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，

则x1x2＝，∴y1y2＝－p2，故＝－4．]

二、填空题

6．已知点A(0，)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|∶|MN|＝1∶2，则抛物线的方程是________．

y2＝4x　[依题意F点的坐标为，

如图，设M在准线上的射影为K，

由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，

∵|FM|∶|MN|＝1∶2，

∴|KN|∶|KM|＝∶1＝，

∴p＝2，

∴p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．]

7．已知直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为KS的中点，则|MF|的值为________．

　[①PQ与x轴不垂直时，如图，

根据抛物线的定义，有|PF|＝|PK|，|QF|＝|QS|，易知△KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PKSQ中，容易求得|KS|＝2．故|FM|＝|KS|＝．②PQ⊥x轴时，|MF|＝p＝a＝b＝．综上可知，|MF|＝．]

8．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．

x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0．]

三、解答题

9．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

[解]　(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，

由|PF|＝2得1＋＝2，得p＝2．

所以抛物线的方程为y2＝4x．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，

∴x1＋x2＝．

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

解得k＝±1，

所以k的值为1或－1．

10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．

(1)求y1y2的值．

(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．

[解]　(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2(m≠0)，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8．

(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

＝×＝×＝，

设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x消去x得：y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，

同理y2y4＝－4，＝＝＝，

由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．

1．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16　　B．14　　C．12　　D．10

A　[法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋．同理可得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16．

法二：设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角为＋θ或θ－，则|AB|＝，|DE|＝(或)＝．

所以|AB|＋|DE|＝4×＝＝＝≥16，当θ＝或θ＝时，取等号，即|AB|＋|DE|的最小值为16．]

2．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)

A．p＝2 B．F为AD中点

C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2

ABC　[如图，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝，

联立

得12x2－20px＋3p2＝0．解得：xA＝p，xB＝p，

由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2．

∴抛物线方程为y2＝4x．

又xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝，

|BD|＝＝＝，∴|BD|＝2|BF|，

|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点．故选ABC．]

3．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．

2　[由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4．由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．]

4．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝________．

1∶　[∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，点A坐标为(2，0)，∴抛物线的准线方程为l：y＝－1，直线AF的斜率为k＝＝－．过M作MP⊥l于P，根据抛物线的定义得|FM|＝|PM|．

∵Rt△MPN中，tan∠MNP＝－k＝，∴＝，

可得|PN|＝2|PM|，

得|MN|＝＝|PM|．

∴＝，

可得|FM|∶|MN|＝|PM|∶|MN|＝1∶．]

如图，已知m是非零实数，抛物线C：

y2＝2px(p＞0)的焦点F在直线l：x－my－＝0上．

(1)若m＝2，求抛物线C的方程；

(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．

[解]　(1)由焦点F在直线l上，得p＝m2．

又m＝2，∴p＝4，

∴抛物线C的方程为y2＝8x．

(2)∵抛物线C的焦点F在直线l上，

∴p＝m2，

∴抛物线C的方程为y2＝2m2x．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去x得y2－2m3y－m4＝0．

∵m≠0，∴Δ＝4m6＋4m4＞0，

且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4．

设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，

∵2＝，2＝，

∴G，H，

∴＝

＝＋，＝，

∴线段GH的中点M．

设R是以线段GH为直径的圆的半径，

则R2＝|GH|2＝(m2＋4)(m2＋1)m4．

设抛物线的准线与x轴的交点为N，

则|MN|2＝＋＝m4(m4＋8m2＋4)＝m4[(m2＋1)(m2＋4)＋3m2]＞m4(m2＋1)·(m2＋4)＝R2．

故点N在以线段GH为直径的圆外．即对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．