人教B版高中数学选择性必修第一册《全书要点速记》课件+学案

第一章　空间向量与立体几何

要点1　空间向量基本定理

1．共线向量基本定理

对任意两个空间向量a，b，如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．

推论：若存在实数t，使＝＋t＝(1－t)＋t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．

2．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．

推论1：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y．

推论2：空间四点P，A，B，C共面的充要条件是存在x，y，z∈R，使得＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1，O为空间任意一点．)

3．空间向量基本定理

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．

要点2　空间向量数量积的应用

(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．

(2)|a2|＝a2，即|a|＝，此结论一般用于求空间中线段的长度．

(3)cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．

(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．

要点3　空间向量在立体几何中的应用

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则

注意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤；②二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．

第二章　平面解析几何

要点1　直线的倾斜角与斜率

(1)设直线的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上的不同两点．当α≠90°即x1≠x2时，k＝tan α＝；当α＝90°或x1＝x2时，直线斜率不存在．

(2)斜率与倾斜角的关系

说明：k的增减性与θ的关系可借助正切函数y＝tan θ的性质进行记忆．

要点2　直线的方程

要点3　两条直线的位置关系

要点4　平面上的距离公式

(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．

(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．

要点5　圆的方程

1．圆的标准方程

圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

2．圆的一般方程

当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心为，半径为．

3．求圆的方程的方法

(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．

(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．

要点6　直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系的判定方法

说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．

2．求弦长的方法

(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋2＝r2．

(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为|x1－x2|(或|y1－y2|)．

3．圆的切线方程

(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．

(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．

(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．

4．求切线方程的方法

若切线斜率k存在，且不为0．

(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．

(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．

注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．

要点7　圆与圆的位置关系

说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ＜0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．

要点8　椭圆、双曲线、抛物线的比较

要点9　椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论

1．椭圆

设F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．

(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形．其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点．

(2)离心率e＝＝，e＝．

(3)|PF1|·|PF2|＝，S＝b2tan ．

2．双曲线

设F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．

(1)离心率e＝＝，e＝．

(2)|PF1|·|PF2|＝，S＝．

要点10　抛物线焦点弦的相关结论

已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ．

(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切．

(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2，·＝－p2，kOP·kOQ＝－4．

(3)|PF|＝，|FQ|＝，从而|PQ|＝，＋＝，S△OPQ＝．

(4)焦点弦与抛物线的对称轴垂直时称为抛物线的通径，其长为2p．