人教B版高中数学选择性必修第一册《章末综合测评+模块综合测评》含答案

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章末综合测评(二)　平面解析几何
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，则实数a的值是(　　)
A．　　　　　　　 B．1
C． D．2
A　[直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，
则a×1＋2(a－1)＝0，
解得a＝．]
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A．　　B．－　　　　C．3　　　　D．－3
B　[设P(a，1)，Q(7，b)，则有∴
故直线l的斜率为＝－．]
3．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵点(3，－4)在双曲线的一条渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝．]
4．若圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2外切，则正数r的值是(　　)
A．2　　B．3　　C．4　　D．6
C　[圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2，
∴C1坐标为(1，1)，半径为1，C2坐标为(－2，－3)，半径为r，
∴|C1C2|＝r1＋r2⇒＝r＋1⇒r＝4．]
5．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2
C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1
D　[∵直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，
∴直线mx＋y＋1＝0始终过圆C的圆心(0，－1)．
又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
∴圆C的半径r＝＝．
∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1．故选D．]
6．已知点P为双曲线－＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S＝S＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2　　B．10　　C．8　　D．6
B　[由题意知，a＝4，b＝3，c＝5．又由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8．设△PF1F2的内切圆的半径为R．∵S＝S＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即4R＝8，∴R＝2，∴S＝·2c·R＝10．故选B．]
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A．－1　　B．2－1　　C．2　　D．
A　[设点A关于直线x＋y＝3的对称点A′(a，b)，
AA′的中点为，kAA′＝，故解得
要使从点A到军营总路程最短，即为点A′到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为－1＝－1，故选A．]
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)
A．　　B．2－　　C．－2　　D．－
D　[设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m．
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a．
在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
BC　[对于A，d1＝＝3>4；对于B，d2＝2<4；对于C，d3＝＝4；对于D，d4＝＝>4，所以符合条件的有BC．]
10．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1．现给出如下结论，其中正确的是(　　)
A．圆O与圆C有四条公切线
B．过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x＋y＝5或x－y＋1＝0
C．过C且与圆O相切的直线方程为9x－16y＋30＝0
D．P，Q分别为圆O和圆C上的动点，则|PQ|的最大值为＋3，最小值为－3
AD　[由题意可得，圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r1＝2，
圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的圆心C(2，3)，半径r2＝1，因为两圆圆心距|OC|＝＞r1＋r2＝2＋1，所以两圆相离，有四条公切线，A正确；
截距相等可以过原点或斜率只能为－1，B不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2，最小值为|OC|－r1－r2，D正确．
故选AD．]
11．已知双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．双曲线C的方程为－y2＝1
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点
AC　[对于选项A，由双曲线C的渐近线方程y＝±x，可得y2＝x2，从而设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，又由双曲线C过点(3，)，所以×32－()2＝λ，解得λ＝1，故正确；
对于选项B，由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，所以离心率e＝＝＝，故错误；
对于选项C，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，满足y＝ex－2－1，故正确；
对于选项D，联立整理得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(－2)2－4×1×2＝0，且直线斜率大于渐近线斜率，知直线与双曲线C只有一个公共点，故错误．]
12．把方程＋＝－1的曲线作为函数y＝f(x)的图像，则下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)的图像不经过第一象限
B．函数f(x)在R上单调递增
C．函数y＝f(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3
D．函数g(x)＝4f(x)＋3x不存在零点
ACD　[由方程＋＝－1可知，当x≥0时，y＜0，这时有－＝1；当－4＜x＜0时，y＜0，这时有＋＝1；当x≤－4时，y≥0，这时有－＝1．根据以上讨论，作出函数y＝f(x)的图像如图所示．

从图中可以看出，函数y＝f(x)的图像不经过第一象限，且f(x)在R上单调递减，故A正确，B错误；由图可知函数y＝f(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3，故C正确；因为双曲线－＝1和－＝1的渐近线方程均为y＝±x，所以函数y＝f(x)的图像与直线y＝－x没有交点，所以方程f(x)＝－x没有实数解，即函数g(x)＝4f(x)＋3x不存在零点，故D正确．故选ACD．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为________．
2　[圆的方程可化为＋(y＋1)2＝，表示以A为圆心，以为半径的圆，关于直线x－y＝1对称的圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，故有×1＝－1，得a＝2．]
14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．
＋＝1　[由椭圆的定义，可知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝．又离心率＝，所以c＝1．由a2＝b2＋c2，得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．]
15．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，则该三角形的欧拉线方程为________．
x＋2y－5＝0　[因为△ABC的顶点为A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，所以重心G，设△ABC的外心为W，则|OW|＝|WC|，即＝，解得a＝，所以W．所以该三角形的欧拉线方程为y－＝，即x＋2y－5＝0．]
16．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则双曲线方程为________，离心率为________．(本题第一空2分，第二空3分)
－＝1　　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由题意知两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可知＝1，又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，由a2＋b2＝c2可得2a2＝(2)2，解得a＝2．∴b＝2，
∴双曲线方程为－＝1，离心率为e＝＝．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2且坐标原点到这两条直线的距离相等．
[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0．①
又直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．②
由①②得
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，且＝1－a．③
又坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b．④
由③④得或
18．(本小题满分12分)在①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点．②圆心在直线2x－y＝0上．③被y轴截得弦长|AB|＝2；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问题：是否存在圆Q，点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，且圆Q________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在直线AB的垂直平分线上，又直线AB的方程为y＝－1，直线AB的垂直平分线所在直线方程为：x＝＝－，则可设圆心坐标为，设圆的半径为r．
若选①，由解得即直线l1和l2的交点为，则圆过点，所以r2＝＋＝＋(b＋1)2，解得b＝－1，则r2＝，即存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝．
若选②，由圆心在直线2x－y＝0上可得2×－b＝0，则b＝－1，
所以r2＝＋(－1＋1)2＝，
即存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝．
若选③，圆被y轴截得弦长|AB|＝2，根据圆的性质可得，r2＝＋＝，
由r2＝＋(b＋1)2＝，解得b＝－1，
即存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝．
所以，存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝．
19．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝．
(1)求抛物线的方程；
(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1．
∵|AB|＝，
即＝，
∴121p2＋242p－48＝0，
解得p＝或p＝－(舍去)，
∴抛物线的方程为y2＝x．
(2)设AB的中点为点D，则D．
假设在x轴上存在满足条件的点C(x0，0)，连接CD．
∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，即·(－1)＝－1，
解得x0＝，∴C，
∴|CD|＝＝．
又|CD|＝|AB|＝≠，
∴矛盾，不符合题目条件，
∴在x轴上不存在一点C，使△ABC为正三角形．
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
[解]　(1)由已知得M(0，t)，P．
又点N为点M关于点P的对称点，故N，直线ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x＝0或x＝．因此H．所以N为OH的中点，即＝2．
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．
21．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设圆心坐标为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且圆的半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
即4m－29＝25或4m－29＝－25，
解得m＝或m＝1．
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25．
(2)设符合条件的实数a存在，
因为a≠0，则直线l的斜率为－，所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0．
由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在直线l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝．
经检验，当a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，
故存在实数a＝，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB．
22．(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4．
(1)若直线l过(0，4)，证明：OA⊥OB；
(2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关．
[证明]　(1)设直线方程为y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x＝4y1，x＝4y2，两式相乘可得(x1x2)2＝16y1y2，
由可得x2－4kx－16＝0，
则x1x2＝－16，y1y2＝16，x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0，OA⊥OB．
(2)设直线y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
由可得x2－4kx－4m＝0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
k1＋k2＝＋＝＋＝k．
联立y＝kx＋m和椭圆2x2＋3y2＝12，可得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
Δ＝36k2m2－4(2＋3k2)(3m2－12)＞0，即4＋6k2＞m2，
x3＋x4＝－，x3x4＝，
k3＋k4＝＋＝＋＝2k＋m＝2k＋＝2k－＝－，
则＝－与直线l的斜率的大小无关．