江苏省百校联考2021届高三下学期4月第三次考试数学试题（解析版）

2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试

                                数 学                     2021年4月

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解．已知复数z满足则|z|＝

A．4           B．2         C．           D．1

【考点】复数的运算

【答案】B

2．已知集合∈，若A∪B，则A∩B＝

A．(－3，3)        B．(－2，2)     C．(－2，3)       D．(－3，2)

【考点】集合的运算

【答案】B

3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即万，亿，兆，京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是

A．21         B．20          C．25        D．24

【考点】新情境下的文化题：计数的位数

【答案】C

4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是

A．2019        B．2020          C．2021         D．2022

【考点】等差数列的性质

【答案】C

5．已知a，b是不共面向量，设

若△OAB的面积为3，则△OCD的面积为

A．4           B．5              C．6           D．8

【考点】平面向量的几何应用

【答案】D

6．正实数a，b，c满足a＋sina＝，则实数a，b，c之间的大小关系为

A．b＜a＜c     B．a＜b＜c         C．a＜c＜b     D．b＜c＜a

【考点】大小比较

【答案】A

7．已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上，且BC，若面面体ABCD的体积是则这个球面的面积是

A．16π           B．          C．4π           D．

【答案】A

【考点】立体几何的外接球问题

【解析】由题意可知S△BCD＝，所以点A到平面BCD的距离为可设AB的中点为O，△BCD的外心为点E，则可得到OE＝又BE＝所以OB＝2，则S球＝4πR2＝16π，故答案选A.

8．已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－kx，若函数g(x)有两个零点，则k的取值范围是

A．        B．(0，)       C．      D．[，)

【答案】B

【考点】函数的零点问题

【解析】当y＝kx与y＝相切时，可得将函数y＝kx的图象顺时针旋转，当k＞0时，f(x)与y＝kx都有2个交点，故答案选B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在平面直角坐标中，已知圆O过点，A(3，4) 、B、C、且，则

A．直线BC的斜率为                    B．∠AOC＝60°

C．△ABC的面积                    D．点B、C在同一象限内

【考点】直线与圆的应用

【答案】BD

10．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy＝1，下列结论正确的是

A．曲线C上的点与定点距离的最小值是

B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l的距离的比是

C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是

D．曲线C的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4

【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用

【答案】ABC

11．设…＋a29，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．…＋29a29＝－58

【答案】ACD

【考点】二项式定理展开式定理的应用

【解析】对于选项A，＝(－2)15＋(－2)16＞0，故选项A正确；对于选项B，可令x＝0，可得令x＝1，得，所以，故选项B错误；对于选项C，令x＝－1，得，则故选项C正确；对于选项D，由[′＝－58(1－2x)28，可令x＝1，可得，故选项D正确；综上，答案选ACD.

12．下列结论正确的是

A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形

B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°

C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°

D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°

【答案】AC

【考点】立体几何中四面体的应用

【解析】对于选项B，三个直角以A为顶点，那么△BCD为锐角三角形，故错误；对于选项D，此时A，B，C，D四点共面，故错误；综上，答案选AC.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知是奇函数，若，m≤sin(2x＋φ)≤n，则n－m的最小值是______．

【答案】1＋

【考点】三角函数的图象与性质应用

14．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A∩B的元素个数是1，在A∪B中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______．

【答案】

【考点】数列与概率综合应用

5．设数列各项互不相同，且．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则的最大值是______．

【答案】18

【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题

【解析】若①正确，②也正确，则不符合题意；若②正确，此时a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2＝2，的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1，的最大值为9；综上，的最大值为18.

16．设抛物线2和在它们的一个交点处的切线互相垂直，则过定点_____．

【答案】(1，)

【考点】抛物线与二次函数的交点问题

【解析】设交点为(x0，y0)，则(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，且x02－2x0＋2＝－x02＋ax0＋b，联立化简可得a＋b＝，所以过定点(1，)．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)

(1)写出一个等差数列的通项公式，使满足①a1≠0，②是等差数列，其中是的前n项和．(写出一个就可以，不必证明)

(2)对于(1)中的设求数列的前n项和Tn．

【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和

【解】(1)可写an＝2n－1，则有Sn＝＝n2，所以＝n，即是等差数列

(2)由(1)得＝(2n－1)2n＝(2n－3)2n＋1－(2n－5)2n，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2n－3)2n＋1＋6．

18．(12分)

如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝DC＝CB＝1．

(1)当A、B、C、D共圆时，求cosA的值；

(2)若求sin∠ABC的值．

【考点】三角恒等变换与解三角形

【解】(1)在△ABD中，由余弦定理可得，

在△BCD中，由余弦定理可得cosC＝2＋2cosA，

所以解得cos A＝．

(2) 在△ABD中，由余弦定理可得∠ADB，

化简可得，解得则，所以

且

所以sin∠ABC＝sin(

19．(12分)

某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：

以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；

(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单

位：元)，求ξ的分布列和数学期望；

②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．

【考点】随机变量的概率、期望与分布列

【解】(1)由题意得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P＝1－＝；

(2)①由题意ξ＝－20，10，40，70，其分布列为：

则E(ξ)＝－20×＋10×＋40×＋70×＝

②由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为

E(ξ)＝－40×＋(－10)×＋20×＋50×＋80×＝45，

因为45＜，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议

20．(12分)

如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2．

(1)证明：DE⊥平面ACD；

(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是且直线AE与平面BCDE所

成角的正弦值是求异面直线DE与AB所成角的余弦值．

【考点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解

【解】(1)由题意可知DE⊥DC，又∠ACB＝90°，则BC⊥AC，

又DE//BC，所以DE⊥AC，且AC∩DC＝C，所以DE⊥平面ACD．

(2)由题意可知AC⊥平面BCDE，连结CE，则有si

又平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的平面角为∠DAC，

所以且DC＝BE＝2，可得AC＝1，

所以AE＝3，则可知，所以BC＝2，则，

而异面直线DE与AB所成的角为∠ABC，

所以其余弦值为

21． (12分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的离心率是，焦点到相应准线的距离是3．

(1)求a，b的值；

(2)已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，F(1，0)，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点．

【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题

【解】(1)由题意有，解得a＝2，c＝1，所以

(2)由题意可设y2)，E(x3，y3)，

由A，F，D三点共线，得，所以

又因为，所以，

解得，同理可得，

又直线DE的方程为，且，

即有直线DE的方程为所以过定点

22．(12分)

设0＜x＜1．

(1)证明： ；

(2)若，求a的取值范围．

【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围

【解】(1)由题意可设f(x)＝sinx－x(0＜x＜1)，有则f(x)＜0，得

设

则有单调递增，得g(x)＞0，所以得证；

(2)由(1)可知a≤1时，成立，

则当a＞1时，设，则，单调递增，

则，

②     若x)单调递减，则有h(x)＜0，此时不符合题意；

②若1所以有唯一零点，可记为则，此时h(x)单调递减，有h(x)＜0，则不符合题意；

综上可知a≤1，即a的取值范围为(－，1]．