江苏省盐城市2021届高三年级第三次模拟考试数学试题（参考答案）

盐城市2021届高三年级第三次模拟考试

                  数学参考答案              

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A     2．D     3．C     4．C     5．A      6．D    7．B      8．A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AC           10．ABD           11．ACD          12．ABD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．185         14．(0，)          15．－           16．2

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：(1)因为＝0，所以(＋)＝0，

即(＋)＝0，                                          ……2分

所以bccosA＋b2＝0，

因为b＝c，所以cosA＝－，                                     ……4分

因为0＜A＜π，所以A＝．                                     ……5分

(2)因为＝(＋)＝bccosA＋b2＝0，

所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0，                       ……6分

cosB＝＝＝≥，                   ……8分

因为0＜B＜π，所以B的最大值为．                             ……10分

18．解：

选②．

证明：由an＋1＝an2，且，所以an＞0，

所以lgan＋1＝lgan，lgan＝lg2，an＝，                          ……5分

当n≥2时，只需证明≥n，

令bn＝，则bn＋1－bn＝－＝＜0，                     ……10分

所以bn≤b2＝1，所以≥n成立．                               

综上所述，当a1＝2且n≥2时，an≥2n成立．                        ……12分

注：选②为假命题，不得分，选③参照给分．

19．

第19题图

解：(1)证明：因为AC＝2BC＝2，所以BC＝1．

因为2∠ACB＝，所以∠ACB＝．

在△ABC中，＝，即＝，

所以sinB＝1，即AB⊥BC．                                         ……2分

又因为平面ABC⊥平面，平面ABC∩平面＝BC，AB平面ABC，

所以AB⊥平面．

又B1C平面，所以AB⊥B1C，

在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1＝，

所以B1C2＝B1B2＋BC2－2B1BBCcos＝3，即B1C＝，

所以B1C⊥BC．                                                    ……4分

而AB⊥B1C，AB平面ABC，BC平面ABC，AB∩BC＝B，

所以B1C⊥平面ABC．

又B1C平面，所以平面ABC⊥平面．                        ……6分

(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，分别以CE，CA，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则B(，，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，)，

所以P(，，0)，＝＝(－，，0)，                           ……8分

所以A1(－，，)，所以＝(，－，－)，

平面ACB1的一个法向量为＝(1，0，0)，                               ……10分

设直线A1P与平面ACB1所成的角为α，

则sinα＝|cos<，>|＝＝＝．                 ……12分

20．解：

(1)由x2＝2py，得y＝x2，所以y′＝x，

所以直线l的斜率为x0．                                             ……3分

(2)设P(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，kPB＝，

由(1)知kPA＝x0＝，                                              ……5分

设A(x1，y1)，所以＋x02＝1，＋x12＝1，

作差得＋(x0＋x1)(x0－x1)＝0，

即＝－，所以kPAkAB＝－，                               ……10分

所以kAB＝－，即kAB＝－，

所以kPBkAB＝－1，所以AB⊥PB．                                     ……12分

注：其他解法参照评分．

21．解：(1)P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋＝，P(ξ＝1)＝，       ……3分

则ξ的概率分布如下表：

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝．                                   ……5分

(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，得出Pn＝，……7分

法一：则Pn＝Pn＋1×＋Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，

故0≤n≤k－2时，Pn＋1＝Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，

以上两式作差得，Pn－Pn＋1＝Pn＋1×，则Pn＝Pn＋1×，           ……10分

则Pn＋1＝Pn＋2×，Pn＋2＝Pn＋3×，…，Pk－2＝Pk－1×，

则PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…Pk－1××××…×，

化简得Pn＝Pk－1×，而Pk－1＝，故Pn＝，

又n＝k－1时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)．             ……12分

法二：同法一得Pn＝Pn＋1×，                                    ……9分

则P0＝P1×，P1＝P2×，P2＝P3×，…，Pn－1＝Pn×，

则P0P1P2…Pn－1＝P0P1P2…Pn××××…×，

化简得P0＝Pn×(n＋1)，而P0＝1，故Pn＝(0≤n≤k－1)，

又n＝0时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)．               ……12分

法三：记Pm(n)表示在出现m的条件下出现n的概率，

则Pn＋1(n)＝，Pn＋2(n)＝Pn＋1(n)＋＝，

Pn＋3(n)＝Pn＋2(n)＋Pn＋1(n)＋＝，                      ……9分

依此类推，Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，

所以Pk(n)＝((k－n－1)＋1)＝．                            ……12分

法四：记Pk(n)表示在出现k的条件下出现n的概率，

则Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，

则kPk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，①

则(k－1)Pk－1(n)＝Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，②

①－得kPk(n)－(k－1)Pk－1(n)＝Pk－1(n)，                               ……9分

则Pk(n)＝Pk－1(n)(k≥n＋2)，

则Pk(n)＝Pn＋1(n)＝．                                          ……12分

22．解：(1)由得f′(x)＝＝，

因n∈N*，由f′(x)＝0，得x＝，                                    ……1分

当x＞时，f′(x)＜0；当时0＜x＜，f′(x)＞0；

故函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋)上单调递减，

所以函数f(x)不单调．                                             ……3分

(2)当a＝1时，可证明ex＞x2lnx＋sinx对x∈(0，＋∞)恒成立，

当x∈(0，1)时，x2lnx≤0，sinx≤1，ex＞1，不等式成立；              ……4分

当x∈(1，e)时，x2lnx＋sinx＜x2＋1，令g(x)＝，

所以g′(x)＝≤0，则函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)＝＜1，

所以ex＞x2＋1，原不等式成立；                                    ……7分

当x∈(e，＋)时，因x2lnx＋sinx≤x2lnx＋1，故只需证ex＞x2lnx＋1，

即证＞＋，只需证＞＋，

在(1)中令n＝1，可得f(x)≤f(e)＝，故＋≤＋，

令h(x)＝，所以h′(x)＝＝0，解得x＝3，

当x∈(e，3)时，h′(x)＜0；当x∈(3，＋)时，h′(x)＞0，

所以h(x)≥h(3)＝＞，而＋≤＋＜，

所以原不等式也成立．

综上所述，当a＝1时，ex＞x2lnx＋sinx对x∈(0，＋∞)恒成立．        ……12分

注：当a＝2或a＝3时结论也成立，请参照评分；当a≥4时结论不成立．