2022年广东省汕头市濠江区中考二模数学试题（含答案）

这是一份2022年广东省汕头市濠江区中考二模数学试题（含答案），共20页。

2022年广东省汕头市濠江区中考二模数学试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．152° B．138° C．128° D．142°
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+2a2＝3a3 B．a2+a3＝a6 C．2a•3a＝6a D．（a3）2＝a6
4．（3分）某班七个兴趣小组人数分别为4，7，5，4，6，4，5，则这组数据的众数是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（3分）一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+a﹣1＝0（a为实数）的实数根的情况是（　　）
A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
7．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（　　）

A．80° B．140° C．20° D．50°
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，动点M沿A→B→C的路径移动，过点M作MN∥BD交正方形的一边于点N，则△AMN的面积y与点M运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）分解因式：x3﹣x＝　 　．
12．（4分）如果一个多边形的内角和是2160°，那么这个多边形的边数是　 　．
13．（4分）已知5a﹣3b+2＝0，则10a﹣6b﹣3＝　 　．
14．（4分）已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是 　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　 　．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 　 　．

17．（4分）如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x轴于点C，OA＝OB，∠AOB＝120°，△AOC的面积为，则k＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）解方程组
19．（7分）已知．
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是等腰△ABC的三边长，求W的值．
20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是AC的中点，点M在BA的延长线上．
（1）作∠MAC的平分线AN，连结BO，并延长BO交AN于点D，连结CD（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

21．（7分）某中学开展了四项体育锻炼活动：A：篮球；B：足球；C：跳绳；D：跑步．陈老师对学生最喜欢的一项体育锻炼活动进行了抽样调查（每人只限一项），并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．

请根据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次调查的学生总数是　 　人；将图1、图2的统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢篮球的3名学生中只有1名男生，现从这3名学生中任意抽取2名学生参加校篮球队，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到两名女生的概率．
22．（8分）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23．（8分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（?＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；
（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

24．（9分）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，BC为半圆的切线，连接OC，过半圆上的点D作AD∥OC，连接BD．BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，ED＝8，
①求⊙O的半径．
②将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求AB扫过的图形的面积（结果用π表示）．

25．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第四象限的抛物线上，若△PBC的面积为4时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，当∠MAB＝2∠ABC时，求点M的横坐标．


2022年广东省汕头市濠江区中考二模数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
2． 解：∵∠1＝52°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣52°＝128°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝128°，
故选：C．
3． 解：a+2a2＝a+2a2，A选项错误，不符合题意；
a2+a3＝a2+a3，B选项错误，不符合题意；
2a⋅3a＝6a2，C选项错误，不符合题意；
（a3）2＝a6，D选项正确，符合题意；
故选：D．
4． 解：∵4，7，5，4，6，4，5，这组数据中4出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4，
故选：D．
5． 解：∵Δ＝[﹣（a﹣2）]2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣8a+8＝（a﹣4）2﹣8，
∴方程根的情况不能确定．
故选：D．
6． 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
7． 解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积为4，
∴四边形DBCE的面积等于3，
故选：B．
8． 解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．
故选：C．
9． 解：∵MN∥BD，
∴AM＝AN，
当点M在AB上时，即0＜x≤6，y＝×x×x＝x2，
点M在BC上时，即6＜x＜12，y＝36﹣2××6（x﹣6）﹣（12﹣x）2＝﹣x2+6x，
故选：B．
10． 解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD＝＝＝，
∴阴影部分的面积为：＝﹣，
故选：B．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
12． 解：设这个正多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝2160°，
解得：n＝14．
则这个正多边形的边数是14．
故答案为：14．
13． 解：∵5a﹣3b+2＝0，
∴5a﹣3b＝﹣2，
原式＝2（5a﹣3b）﹣3
＝2×（﹣2）﹣3
＝﹣4﹣3
＝﹣7．
故答案为：﹣7．
14． 解：圆锥的底面周长＝2π×6＝12π，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π，
则圆锥的侧面积＝．
故答案为：48π．
15． 解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝110°，
∵CE平分△ABC的外角∠ACD，
∴∠1＝∠ACD＝55°，
故答案为：55°．
16． 解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠BCA＝∠BAC＝45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE＝4
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AFB＝∠AFE＝90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2
∴BE＝BF+FE＝2+2
故答案为2+2


17． 解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示.
∵∠AOB＝120°，∠AOC＝90°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°，
∴BD＝OB，
∵OA＝OB，
∴BD＝OA，
∵∠BCD＝∠ACO，∠AOC＝∠BDC＝90°，
∴△AOC∽△BDC，
∴S△BCD＝S△AOC＝，
∵S△OBC＝OC•BD＝OC•OA＝S△AOC＝×2＝，
∴S△OBD＝S△OBC+S△BCD＝
∴k＝2S△OBD＝3．
故答案为：3．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：，
①×3+②×2得：13x＝52，
解得：x＝4，
把x＝4代入①得：y＝3，
则方程组的解为．
19． 解：（1）W＝[+]÷
＝•
＝；
（2）∵a，2，3恰好是等腰△ABC的三边长，
又∵分母不能为0，
∴a＝3，
则W＝
＝．
20． 解：（1）如图，AN，CD即为所求；

（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵AN是∠MAC的平分线，
∴∠MAC＝2∠MAN＝2∠CAN，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴2∠MAN＝2∠ABC，
∴∠MAN＝∠ABC，
∴AN∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△OAD和△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21． 解：（1）本次调查的学生总人数为3÷10%＝30人，
D项活动的人数为40﹣（3+6+12）＝9，
D项所占的百分比是：×100%＝30%；
补全统计图如下：

故答案为：30；
（2）男生用A表示，两名女生分别用B和C表示．画树状图如下：

共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到两名女生的结果有2种，所以抽到两名女生的概率是．
22． 解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45，
∴x≤45，
当x＝45时，每天的销售量为350﹣50×＝250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
根据题意得，w＝（350﹣×50）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000，
∴这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为
w＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∵x≤45，
∴当x＝45时，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
答：当销售单价为45元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
23． 解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），
∴m＝2×1+6＝8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）不等式2x+6＜0的解集为0＜x＜1；

（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝＝（n﹣3）2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
24． （1）证明：连接OD，

∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴OC是BD的垂直平分线，
∴CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODC＝∠OBC，
∵BC为半圆的切线，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：①∵∠ODE＝90°，
∴∠ODA+∠EDA＝90°，
∵∠OAD+∠ABD＝90°，∠OAD＝∠ODA，
∴∠EDA＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，
∴，
∴，
∴EB＝16，
∴AB＝12，
∴⊙O的半径为6；
②由题意知，AB扫过的图形是以AB为半径，圆心角为120°的扇形，
∴AB扫过的图形的面积为＝48π．
25． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）抛物线y＝x2﹣x﹣2，当y＝0时，则x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1（不符合题得，舍去），
∴B（4，0），
∴S△ABC＝AB•OC＝×（4+1）×2＝5，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则4k﹣2＝0，
解得k＝，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，
设P（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜4），则G（x，x﹣2），
∴PG＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝OH•PG+BH•PG＝×4PG＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，
∵S△PBC＝4，
∴﹣x2+4x＝4，
解得x1＝x2＝2，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
（3）如图2，取AB点中E，连接CE，则E（，0），
∵＝＝，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠CBO+∠BCO＝90°，
∴BE＝CE＝AB，
∴∠ECB＝∠CBO，
∴∠AEC＝∠ECB+∠CBO＝2∠CBO＝2∠ACO，
当点M在x轴的上方，设AM交y轴于点D，
∵∠MAB＝2∠ABC，
∴∠MAB＝2∠ACO＝∠AEC，
∴AM∥CE，
设直线CE的解析式为y＝mx﹣2，
则m﹣2＝0，
解得m＝，
∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，
设直线AM的解析式为y＝x+a，
则﹣+a＝0，
解得a＝，
∴直线AM的解析式为y＝x+，
由，
得x2﹣x﹣2＝x+，
解得x1＝，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点M的横坐标为；
当点M′在x轴的下方，设AM′交y轴于点F，
直线y＝x+，当x＝0时，y＝，
∴D（0，），
∵∠M′AB＝2∠ACO＝∠MAB，OA＝OA，∠AOF＝∠AOD＝90°，
∴△OAF≌△OAD（ASA），
∴OF＝OD＝，
∴F（0，﹣），
设直线AM′的解析式为y＝nx﹣，则﹣n﹣＝0，
解得n＝﹣，
∴直线AM′的解析式为y＝﹣x﹣，
由，
得x2﹣x﹣2＝﹣x﹣，
解得x1＝，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点M′的横坐标为，
综上所述，点M的横坐标为或．


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