还剩24页未读，
继续阅读
2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷（含答案）
展开
这是一份2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列四个数中，最小的一个数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．
2．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某市中学生对《天宫课堂》的喜爱程度
B．调查某班同学的视力情况
C．调查全市中学生每周体育锻炼时间
D．调查黄河流域中鱼的种类
3．（3分）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3m2+2m＝5m3 B．（m2n）3＝m5n3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2+n2 D．
5．（3分）由7个相同的小正方体组成的几何体如图所示，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款人数最多的一组是（ ）
A．5～10元 B．10～15元 C．15～20元 D．20～25元
7．（3分）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
8．（3分）人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（ ）
A．8×104刹那 B．4.8×106刹那
C．4.8×105刹那 D．4.8×107刹那
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点，，对角线AC，OB交于点D，将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则第77次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，﹣） C．（3） D．（3，﹣）
（多选）10．（3分）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B．当c＝0g/m3时，R1的阻值为60Ω
C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态
D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在2和3之间的无理数 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）小明制作了如图所示的四张卡片（四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是 ．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，以B点为圆心，AB的长为半径画弧，交EF于点P，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连接DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
17．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 人，圆心角β＝ °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）B是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，BD∥x轴，交直线AC于点D，求BD的长．
19．（9分）洛阳应天门是隋唐洛阳城宫城的正南门，始建于隋大业元年，也就是公元605年，先后历经隋、唐、五代、北宋四个时期，应天门是一座由门楼、朵楼和东西阙楼及其间的廊庑为一体的“凹”字形巨大建筑群．某数学兴趣小组测量一侧阙楼的高度，如图，在A处用测角仪测得阙楼最高点B的仰角为45°，在同一位置加高测角仪至E点，测得阙楼最高点B的仰角为43°，已知测角仪支架高AD＝1米，DE＝2.4米，请根据相关测量信息，求阙楼BC的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
（1）过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD＝2，PC＝9，求PB的长．
21．（9分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．
操作判断
（1）操作一：将正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，点G在正方形ABCD的边AD上，如图1，连接CF，取CF的中点O，连接DO，OG．操作发现，DO与OG的位置关系是 ；DO与OG的数量关系是 ；
（2）操作二：将正方形AEFG绕顶点A顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB＝4，AE＝2，当∠BAG＝150°时，请直接写出DO的长．
2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列四个数中，最小的一个数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．
【解答】解：∵﹣2＝﹣，|﹣|＞|﹣|，
∴﹣，
∴﹣2，
∴﹣2＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某市中学生对《天宫课堂》的喜爱程度
B．调查某班同学的视力情况
C．调查全市中学生每周体育锻炼时间
D．调查黄河流域中鱼的种类
【解答】解：A．调查某市中学生对《天宫课堂》的喜爱程度，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查某班同学的视力情况，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．调查全市中学生每周体育锻炼时间，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查黄河流域中鱼的种类，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3m2+2m＝5m3 B．（m2n）3＝m5n3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2+n2 D．
【解答】解：A、3m2和2m不是同类项，不能合并，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、（m2n）3＝m6n3，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、5＝7，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）由7个相同的小正方体组成的几何体如图所示，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，可得如下图形：
故选：A．
6．（3分）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款人数最多的一组是（ ）
A．5～10元 B．10～15元 C．15～20元 D．20～25元
【解答】解：根据图形所给出的数据可得：
捐款额为15～20元的有20人，人数最多，
则捐款人数最多的一组是15﹣20元．
故选：C．
7．（3分）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，
而k＜0，
∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（ ）
A．8×104刹那 B．4.8×106刹那
C．4.8×105刹那 D．4.8×107刹那
【解答】解：3600×24÷0.018＝4800000＝4.8×106．
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点，，对角线AC，OB交于点D，将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则第77次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，﹣） C．（3） D．（3，﹣）
【解答】解：∵四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥BO，BD＝DO，AD＝CD，
∵点B（0，4），点A（2，2），
∴BO＝4，AD＝CD＝2，DO＝2，
∴点D（0，2）
菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，
根据图形变化可得，
旋转1次D1坐标为（﹣3，），
旋转2次D2坐标为（﹣3，﹣），
旋转3次D3坐标为（0，﹣2），
旋转4次D4坐标为（3，﹣），
旋转5次D5坐标为（3，），
旋转6次D6坐标为（0，2），
•••，
坐标的变化具有周期性，
77÷6＝12•••5，
∴第77次旋转结束时，点D的坐标（3，），
故选：C．
（多选）10．（3分）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B．当c＝0g/m3时，R1的阻值为60Ω
C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态
D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态
【解答】解：A、由图2可知，R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的增大而减小，
∴空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；
B、由图2可知，当c＝0g/m3时，R1的阻值小于50Ω，故B错误，符合题意；
C、由图3可知，c＞0.5g/m3时，燃气报警器为报警状态，
∴当空气中一氧化碳体积浓度大于0.5×103×0.8＝400（ppm）时，燃气报警器为报警状态，故C正确，不符合题意；
D、由图2可知，R1＝20Ω时，c＝0.3g/m3，而c大于0.5g/m3时，燃气报警器报警，故D错误，符合题意；
∴不正确的是BD，
故答案为：BD．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在2和3之间的无理数 （答案不唯一） ．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）不等式组的解集是 1＜x＜3 ．
【解答】解：，
由①得：x＜3，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
13．（3分）小明制作了如图所示的四张卡片（四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果有2种，
∴这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，以B点为圆心，AB的长为半径画弧，交EF于点P，则图中阴影部分的面积为 +2﹣ ．
【解答】解：连接PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠EAB＝∠ABF＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC＝，
∴四边形ABFE是矩形，
∵BP＝AB，
∴BF＝BP，
∵cos∠PBF＝＝，
∴∠PBF＝60°，
∴PF＝BF＝，
∴阴影PFC的面积＝扇形BPC的面积﹣△PBF的面积＝﹣BF•PF＝π﹣×1×＝π﹣；
∵阴影APE的面积＝矩形ABFE的面积﹣△PBF的面积﹣扇形BAP的面积＝AB•BF﹣BF•PF﹣，
∴阴影APE的面积＝2×1﹣×1×﹣＝2﹣﹣，
∴图中阴影的面积＝π﹣+2﹣﹣＝+2﹣．
故答案为：+2﹣．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连接DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为 或2﹣2 ．
【解答】解：如图，当DC'⊥CD时，
∴∠CDC'＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠C＝∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝90°，DE＝CE，
∴DC＝CE＝2，
∴CE＝，
如图，当DC'⊥AD时，设DC'与BC交于点F，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵DF⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴DC＝CF＝2，
∴CF＝，
∴BF＝2﹣，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝22.5°，
∴∠DEB＝67.5°，
∵CD＝CB，∠C＝45°，
∴∠DBC＝67.5°＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BF﹣EF＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2，
综上所述：CE＝或2﹣2，
故答案为：或2﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+﹣1
＝；
（2）÷（x2+4x）
＝•
＝•
＝．
17．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 50 人，圆心角β＝ 144 °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
【解答】解：（1）由题意得，次抽查的学生人数是10÷20%＝50（人）；
圆心角β＝×100%×360°＝144°，
故答案为：50；144；
（2）成绩良好的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
成绩的中位数落在良好等级；
（3）1000××3+1000××5
＝1080+2000
＝3080（元）．
答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为3080元．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）B是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，BD∥x轴，交直线AC于点D，求BD的长．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象过点A（1，m），
∴m＝1+2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x+2得，1＝x+2，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，1），
∴BD＝3+1＝4，
19．（9分）洛阳应天门是隋唐洛阳城宫城的正南门，始建于隋大业元年，也就是公元605年，先后历经隋、唐、五代、北宋四个时期，应天门是一座由门楼、朵楼和东西阙楼及其间的廊庑为一体的“凹”字形巨大建筑群．某数学兴趣小组测量一侧阙楼的高度，如图，在A处用测角仪测得阙楼最高点B的仰角为45°，在同一位置加高测角仪至E点，测得阙楼最高点B的仰角为43°，已知测角仪支架高AD＝1米，DE＝2.4米，请根据相关测量信息，求阙楼BC的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【解答】解：过点D作DG⊥BC，垂足为G，过点E作EF⊥BC，垂足为F，
由题意得：AD＝CG＝1米，DE＝FG＝2.4米，EF＝DG，
设BF＝x米，
∴BG＝BF+FG＝（x+2.4）米，
在Rt△DBG中，∠BDG＝45°，
∴DG＝＝（x+2.4）米，
∴EF＝DG＝（x+2.4）米，
在Rt△BFE中，∠BEF＝43°，
∴tan43°＝＝≈0.93，
解得：x≈31.89，
经检验：x＝31.89是原方程的根，
∴BF＝31.89米，
∴BC＝BF+FG+CG≈35.3（米），
∴阙楼BC的高度约为35.3米．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
（1）过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD＝2，PC＝9，求PB的长．
【解答】解：（1）如图，PB为所作；
（2）∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴AC＝2OD＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PB为⊙O的切线，
∴AB⊥PB，
∴∠PBA＝90°，
∵∠BPC＝∠APB，
∴Rt△PBC∽Rt△PAB，
∴PB：PA＝PC：PB，
即PB：（4+9）＝9：PB，
解得PB＝3，
即PB的长为3．
21．（9分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝70，
70﹣20＝50（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，
解得m≤45，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
（3）设总利润为w元，
w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，
∵5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝，
设直线BC的表达式为：y＝kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，
解得：k＝﹣，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，
当x＝时，y＝﹣x+2＝，
即点P（，）；
（3）由题意得，MN＝3，
当y＝﹣x+2＝3时，x＝﹣2，
即当x＝﹣2时，MN和直线BC有交点，但与抛物线没有交点，
则当x＝﹣1时，线段MN与抛物线和直线BC都开始存在交点，
当点M和点B重合时，线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，之后就不符合题意了，
故﹣1≤x≤4，
即M的横坐标xM的取值范围为：﹣1≤xM≤4．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．
操作判断
（1）操作一：将正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，点G在正方形ABCD的边AD上，如图1，连接CF，取CF的中点O，连接DO，OG．操作发现，DO与OG的位置关系是 OD⊥OG ；DO与OG的数量关系是 OD＝OG ；
（2）操作二：将正方形AEFG绕顶点A顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB＝4，AE＝2，当∠BAG＝150°时，请直接写出DO的长．
【解答】解：（1）延长GO交CD于H点，
∵正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，
∴CD∥BA，FG∥AE，GF＝AG，
∴CD∥FG，
∴∠HCO＝∠GFO，
∵CF的中点O，
∴CO＝OF，
在△COH与△FOG中，
，
∴△COH≌△FOG（ASA），
∴HO＝OG，CH＝GF，
∴CH＝AG，
∵HD＝CD﹣CH，DG＝AD﹣AG，
∴HD＝DG，
∴OD⊥OG，∠HDO＝∠GDO＝45°，
∴OD＝OG，
故答案为：OD⊥OG，OD＝OG；
（2）两个结论仍然成立，理由如下：
连接DG，作CI∥GF交AB于点I，延长GO交CI于点J，连接DJ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD＝AD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴∠DCI+∠CIA＝180°，
∵CI∥GF，
∴∠JCO＝∠GFO，
∵O为CF的中点，
∴CO＝FO，
∵∠COJ＝∠FOG，
∴△COJ≌△FOG（ASA），
∴JO＝GO，CJ＝FG，
在正方形AEFG中，AG＝FG，FG∥AE，
∴CJ＝AG，CI∥AE，
∴∠CIA＝∠IAE，
在正方形ABCD与正方形AEFG中，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠IAE＝180°，
∴∠DCI＝∠DAG，
∵CD＝AD，
∴△DCJ≌△DAG（AAS），
∴∠CDJ＝∠ADG，DJ＝DG，
∵∠CDJ+∠JDA＝∠CDA＝90°，
∴∠ADG+∠JDA＝∠JDG＝90°，
∴△JDG为等腰直角三角形，
∵O为JG的中点，
∴DO⊥JG，DO＝OG＝JG，
∴DO⊥OG，DO＝OG；
（3）DO的长为或，理由如下：
连接DG，当AG在直线BA上方时，可知∠DAG＝60°，取AD的中点P，连接GP，
∵AB＝4，AE＝2，
∴AP＝2，
∴AP＝AE，
∵∠DAG＝60°，
∴△APG为等边三角形，
∴DP＝PG，
∴∠PDG＝∠PGD＝30°，
∴∠AGD＝90°，
根据勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
连接DG，当AG在直线BA下方时，过点G作GR⊥DA交DA的延长线于点R，
∴∠DRG＝90°，
∵∠BAG＝150°，
∴∠GAR＝60°，
∴AR＝1，RG＝，
根据勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
综上所述，DO的长为或．
2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列四个数中，最小的一个数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．
2．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某市中学生对《天宫课堂》的喜爱程度
B．调查某班同学的视力情况
C．调查全市中学生每周体育锻炼时间
D．调查黄河流域中鱼的种类
3．（3分）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3m2+2m＝5m3 B．（m2n）3＝m5n3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2+n2 D．
5．（3分）由7个相同的小正方体组成的几何体如图所示，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款人数最多的一组是（ ）
A．5～10元 B．10～15元 C．15～20元 D．20～25元
7．（3分）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
8．（3分）人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（ ）
A．8×104刹那 B．4.8×106刹那
C．4.8×105刹那 D．4.8×107刹那
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点，，对角线AC，OB交于点D，将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则第77次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，﹣） C．（3） D．（3，﹣）
（多选）10．（3分）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B．当c＝0g/m3时，R1的阻值为60Ω
C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态
D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在2和3之间的无理数 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）小明制作了如图所示的四张卡片（四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是 ．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，以B点为圆心，AB的长为半径画弧，交EF于点P，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连接DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
17．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 人，圆心角β＝ °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）B是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，BD∥x轴，交直线AC于点D，求BD的长．
19．（9分）洛阳应天门是隋唐洛阳城宫城的正南门，始建于隋大业元年，也就是公元605年，先后历经隋、唐、五代、北宋四个时期，应天门是一座由门楼、朵楼和东西阙楼及其间的廊庑为一体的“凹”字形巨大建筑群．某数学兴趣小组测量一侧阙楼的高度，如图，在A处用测角仪测得阙楼最高点B的仰角为45°，在同一位置加高测角仪至E点，测得阙楼最高点B的仰角为43°，已知测角仪支架高AD＝1米，DE＝2.4米，请根据相关测量信息，求阙楼BC的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
（1）过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD＝2，PC＝9，求PB的长．
21．（9分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．
操作判断
（1）操作一：将正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，点G在正方形ABCD的边AD上，如图1，连接CF，取CF的中点O，连接DO，OG．操作发现，DO与OG的位置关系是 ；DO与OG的数量关系是 ；
（2）操作二：将正方形AEFG绕顶点A顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB＝4，AE＝2，当∠BAG＝150°时，请直接写出DO的长．
2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列四个数中，最小的一个数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．
【解答】解：∵﹣2＝﹣，|﹣|＞|﹣|，
∴﹣，
∴﹣2，
∴﹣2＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某市中学生对《天宫课堂》的喜爱程度
B．调查某班同学的视力情况
C．调查全市中学生每周体育锻炼时间
D．调查黄河流域中鱼的种类
【解答】解：A．调查某市中学生对《天宫课堂》的喜爱程度，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查某班同学的视力情况，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．调查全市中学生每周体育锻炼时间，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查黄河流域中鱼的种类，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3m2+2m＝5m3 B．（m2n）3＝m5n3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2+n2 D．
【解答】解：A、3m2和2m不是同类项，不能合并，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、（m2n）3＝m6n3，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、5＝7，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）由7个相同的小正方体组成的几何体如图所示，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，可得如下图形：
故选：A．
6．（3分）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款人数最多的一组是（ ）
A．5～10元 B．10～15元 C．15～20元 D．20～25元
【解答】解：根据图形所给出的数据可得：
捐款额为15～20元的有20人，人数最多，
则捐款人数最多的一组是15﹣20元．
故选：C．
7．（3分）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，
而k＜0，
∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（ ）
A．8×104刹那 B．4.8×106刹那
C．4.8×105刹那 D．4.8×107刹那
【解答】解：3600×24÷0.018＝4800000＝4.8×106．
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点，，对角线AC，OB交于点D，将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则第77次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，﹣） C．（3） D．（3，﹣）
【解答】解：∵四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥BO，BD＝DO，AD＝CD，
∵点B（0，4），点A（2，2），
∴BO＝4，AD＝CD＝2，DO＝2，
∴点D（0，2）
菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，
根据图形变化可得，
旋转1次D1坐标为（﹣3，），
旋转2次D2坐标为（﹣3，﹣），
旋转3次D3坐标为（0，﹣2），
旋转4次D4坐标为（3，﹣），
旋转5次D5坐标为（3，），
旋转6次D6坐标为（0，2），
•••，
坐标的变化具有周期性，
77÷6＝12•••5，
∴第77次旋转结束时，点D的坐标（3，），
故选：C．
（多选）10．（3分）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B．当c＝0g/m3时，R1的阻值为60Ω
C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态
D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态
【解答】解：A、由图2可知，R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的增大而减小，
∴空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；
B、由图2可知，当c＝0g/m3时，R1的阻值小于50Ω，故B错误，符合题意；
C、由图3可知，c＞0.5g/m3时，燃气报警器为报警状态，
∴当空气中一氧化碳体积浓度大于0.5×103×0.8＝400（ppm）时，燃气报警器为报警状态，故C正确，不符合题意；
D、由图2可知，R1＝20Ω时，c＝0.3g/m3，而c大于0.5g/m3时，燃气报警器报警，故D错误，符合题意；
∴不正确的是BD，
故答案为：BD．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在2和3之间的无理数 （答案不唯一） ．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）不等式组的解集是 1＜x＜3 ．
【解答】解：，
由①得：x＜3，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
13．（3分）小明制作了如图所示的四张卡片（四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果有2种，
∴这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，以B点为圆心，AB的长为半径画弧，交EF于点P，则图中阴影部分的面积为 +2﹣ ．
【解答】解：连接PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠EAB＝∠ABF＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC＝，
∴四边形ABFE是矩形，
∵BP＝AB，
∴BF＝BP，
∵cos∠PBF＝＝，
∴∠PBF＝60°，
∴PF＝BF＝，
∴阴影PFC的面积＝扇形BPC的面积﹣△PBF的面积＝﹣BF•PF＝π﹣×1×＝π﹣；
∵阴影APE的面积＝矩形ABFE的面积﹣△PBF的面积﹣扇形BAP的面积＝AB•BF﹣BF•PF﹣，
∴阴影APE的面积＝2×1﹣×1×﹣＝2﹣﹣，
∴图中阴影的面积＝π﹣+2﹣﹣＝+2﹣．
故答案为：+2﹣．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连接DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为 或2﹣2 ．
【解答】解：如图，当DC'⊥CD时，
∴∠CDC'＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠C＝∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝90°，DE＝CE，
∴DC＝CE＝2，
∴CE＝，
如图，当DC'⊥AD时，设DC'与BC交于点F，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵DF⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴DC＝CF＝2，
∴CF＝，
∴BF＝2﹣，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝22.5°，
∴∠DEB＝67.5°，
∵CD＝CB，∠C＝45°，
∴∠DBC＝67.5°＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BF﹣EF＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2，
综上所述：CE＝或2﹣2，
故答案为：或2﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：÷（x2+4x）．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+﹣1
＝；
（2）÷（x2+4x）
＝•
＝•
＝．
17．（9分）为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
竞赛成绩/分
等级
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
优秀
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是 50 人，圆心角β＝ 144 °；
（2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
（3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．
【解答】解：（1）由题意得，次抽查的学生人数是10÷20%＝50（人）；
圆心角β＝×100%×360°＝144°，
故答案为：50；144；
（2）成绩良好的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
成绩的中位数落在良好等级；
（3）1000××3+1000××5
＝1080+2000
＝3080（元）．
答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为3080元．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）B是反比例函数图象上一点，且纵坐标是1，BD∥x轴，交直线AC于点D，求BD的长．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象过点A（1，m），
∴m＝1+2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x+2得，1＝x+2，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，1），
∴BD＝3+1＝4，
19．（9分）洛阳应天门是隋唐洛阳城宫城的正南门，始建于隋大业元年，也就是公元605年，先后历经隋、唐、五代、北宋四个时期，应天门是一座由门楼、朵楼和东西阙楼及其间的廊庑为一体的“凹”字形巨大建筑群．某数学兴趣小组测量一侧阙楼的高度，如图，在A处用测角仪测得阙楼最高点B的仰角为45°，在同一位置加高测角仪至E点，测得阙楼最高点B的仰角为43°，已知测角仪支架高AD＝1米，DE＝2.4米，请根据相关测量信息，求阙楼BC的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【解答】解：过点D作DG⊥BC，垂足为G，过点E作EF⊥BC，垂足为F，
由题意得：AD＝CG＝1米，DE＝FG＝2.4米，EF＝DG，
设BF＝x米，
∴BG＝BF+FG＝（x+2.4）米，
在Rt△DBG中，∠BDG＝45°，
∴DG＝＝（x+2.4）米，
∴EF＝DG＝（x+2.4）米，
在Rt△BFE中，∠BEF＝43°，
∴tan43°＝＝≈0.93，
解得：x≈31.89，
经检验：x＝31.89是原方程的根，
∴BF＝31.89米，
∴BC＝BF+FG+CG≈35.3（米），
∴阙楼BC的高度约为35.3米．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
（1）过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD＝2，PC＝9，求PB的长．
【解答】解：（1）如图，PB为所作；
（2）∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴AC＝2OD＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PB为⊙O的切线，
∴AB⊥PB，
∴∠PBA＝90°，
∵∠BPC＝∠APB，
∴Rt△PBC∽Rt△PAB，
∴PB：PA＝PC：PB，
即PB：（4+9）＝9：PB，
解得PB＝3，
即PB的长为3．
21．（9分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝70，
70﹣20＝50（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，
解得m≤45，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
（3）设总利润为w元，
w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，
∵5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝，
设直线BC的表达式为：y＝kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，
解得：k＝﹣，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，
当x＝时，y＝﹣x+2＝，
即点P（，）；
（3）由题意得，MN＝3，
当y＝﹣x+2＝3时，x＝﹣2，
即当x＝﹣2时，MN和直线BC有交点，但与抛物线没有交点，
则当x＝﹣1时，线段MN与抛物线和直线BC都开始存在交点，
当点M和点B重合时，线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，之后就不符合题意了，
故﹣1≤x≤4，
即M的横坐标xM的取值范围为：﹣1≤xM≤4．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．
操作判断
（1）操作一：将正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，点G在正方形ABCD的边AD上，如图1，连接CF，取CF的中点O，连接DO，OG．操作发现，DO与OG的位置关系是 OD⊥OG ；DO与OG的数量关系是 OD＝OG ；
（2）操作二：将正方形AEFG绕顶点A顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB＝4，AE＝2，当∠BAG＝150°时，请直接写出DO的长．
【解答】解：（1）延长GO交CD于H点，
∵正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，
∴CD∥BA，FG∥AE，GF＝AG，
∴CD∥FG，
∴∠HCO＝∠GFO，
∵CF的中点O，
∴CO＝OF，
在△COH与△FOG中，
，
∴△COH≌△FOG（ASA），
∴HO＝OG，CH＝GF，
∴CH＝AG，
∵HD＝CD﹣CH，DG＝AD﹣AG，
∴HD＝DG，
∴OD⊥OG，∠HDO＝∠GDO＝45°，
∴OD＝OG，
故答案为：OD⊥OG，OD＝OG；
（2）两个结论仍然成立，理由如下：
连接DG，作CI∥GF交AB于点I，延长GO交CI于点J，连接DJ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD＝AD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴∠DCI+∠CIA＝180°，
∵CI∥GF，
∴∠JCO＝∠GFO，
∵O为CF的中点，
∴CO＝FO，
∵∠COJ＝∠FOG，
∴△COJ≌△FOG（ASA），
∴JO＝GO，CJ＝FG，
在正方形AEFG中，AG＝FG，FG∥AE，
∴CJ＝AG，CI∥AE，
∴∠CIA＝∠IAE，
在正方形ABCD与正方形AEFG中，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠IAE＝180°，
∴∠DCI＝∠DAG，
∵CD＝AD，
∴△DCJ≌△DAG（AAS），
∴∠CDJ＝∠ADG，DJ＝DG，
∵∠CDJ+∠JDA＝∠CDA＝90°，
∴∠ADG+∠JDA＝∠JDG＝90°，
∴△JDG为等腰直角三角形，
∵O为JG的中点，
∴DO⊥JG，DO＝OG＝JG，
∴DO⊥OG，DO＝OG；
（3）DO的长为或，理由如下：
连接DG，当AG在直线BA上方时，可知∠DAG＝60°，取AD的中点P，连接GP，
∵AB＝4，AE＝2，
∴AP＝2，
∴AP＝AE，
∵∠DAG＝60°，
∴△APG为等边三角形，
∴DP＝PG，
∴∠PDG＝∠PGD＝30°，
∴∠AGD＝90°，
根据勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
连接DG，当AG在直线BA下方时，过点G作GR⊥DA交DA的延长线于点R，
∴∠DRG＝90°，
∵∠BAG＝150°，
∴∠GAR＝60°，
∴AR＝1，RG＝，
根据勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
综上所述，DO的长为或．
相关试卷
2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省周口市太康县中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年河南省周口市太康县中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省周口市太康县中考数学二模试卷（含答案）： 这是一份2023年河南省周口市太康县中考数学二模试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
