2022上海市实验学校高三四月月考数学试题含解析

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一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知，，则___________.
2. 抛物线的准线方程是___________________.
3. 已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则__________.
4. 已知复数满足，若，则值为___________.
5. 某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）
6. 设､为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若､为互斥事件，且，，则；
（2）若，，，则､相互独立事件；
（3）若，，，则､为相互独立事件；
（4）若，，，则､相互独立事件；
（5）若，，，则､为相互独立事件；
其中正确命题的个数为___________.
7. 若函数是幂函数，且其图象过点，则函数单调递增区间为___________.
8. 在中，内角成等差数列，则___________.
9. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的__________倍．
10. 已知二次函数，当时，其抛物线在轴上截得的线段长依次为，则的值是___________.
11. 如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
12. 已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.
二､选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 下列命题正确的个数是（ ）
①；
②若，，则；
③使不等式成立一个充分不必要条件是或；
④若、、是全不为的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件.
A. B. C. D.
14. 新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
16. 已知实数，，满足：对任意都成立，则（ ）.
A. B.
C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图①，在棱长为的正方体，设是的中点.
（1）过点、且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图②中画出这个三角形（说明画法和理由）；
（2）求四棱锥的体积.
18. 已知.
（1）若，，解关于的不等式；
（2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
19. 如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．
（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．
20. 已知动点P到定点的距离比P点到直线的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C.过定点的直线与曲线C交于A､B两点.
（1）求曲线C的方程；
（2）若点E的坐标为，求证：；
（3）是否存在实数，使得以为直径的圆截直线：所得弦长为定值？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
21. 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
（1）证明为等差数列，求数列的通项公式；
（2）求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；