2023上海市复旦大学附中高三下学期3月月考数学试题含解析

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复旦附中2023届高三年级3月份教学质量检测数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.第1-6题每题4分，第12题每题5分）1. 已知集合，则___________．2. 已知i为虚数单位，则复数的虚部为___________．3. 已知幂函数图像过点，则的值为___________．4. 已知，，则_______．5. 已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_______.6. 已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．7. 若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．8. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是________．9. 下列说法中正确的是______．①设随机变量X服从二项分布，则②已知随机变量X服从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；④，．10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．11. 已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有．若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为___________．12. 已知对任意的，均有，则的最小值为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则14. 已知函数的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（    ）A.  B.  C.  D. 15. 已知正实数a，b满足，则最小值为（    ）A.  B. 3 C.  D. 16. 已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.18. 某学校为丰富学生课外活动，计划在校园内增加宣外活动区域（如所示）已知教学楼用直线表示，且，ED是过道，A是之间的一定点路口，并且点A到的距离分别为2，6，B是直线上的动点，连接AB，过点A作．且使得AC交直线于C，点B，C均在DE的右侧，设（1）写出活动区域的面积S关于角的函数表达式，并写出定义域；（2）求的最小值．19. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其携号的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．（1）完成列联表： 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数   对业务水平不满意人数   合计    （2）并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；（3）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；附：0.010.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.02466357.78910.828 20. 椭圆的焦点是一个等轴双曲线的顶点,其顶点是双曲线的焦点，椭圆与双曲线有一个交点P，的周长为．（1）求椭圆与双曲线的标准方程；（2）点M是双曲线上的任意不同于其顶点的动点，设直线，的斜率分别为，求的值；（3）过点任作一动直线l交椭圆于A、B两点，记．若在线段AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．21. 若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”．（1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；（2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；（3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“”