2023上海奉贤区致远高级中学高二下学期3月月考数学试题含解析

致远高中2022学年第二学期3月教学评估 高二数学

一、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）

1. 同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用古典概率计算作答.

【详解】投掷两颗均匀的骰子的试验有个基本事件，它们等可能，

所有点数相等的事件含有的基本事件为，共6个，

所以.

故答案为：.

2. 对于独立事件A、B，若，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率计算即可求解.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

因为，为独立事件，所以与相互独立，

则有，

故答案为：.

3. 下列事件中，属于随机现象的序号是______.

①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根；

③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边．

【答案】①③

【解析】

【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断.

【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；

对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；

对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；

综上：属于随机现象的序号是①③.

故答案：①③.

4. 计算：______.

【答案】15150

【解析】

【分析】直接利用等差数列前项和公式即可.

【详解】15150.

故答案为：15150.

5. 抛物线的准线方程为________．

【答案】

【解析】

【分析】将方程化为标准方程，得到p，进而得到准线方程.

【详解】抛物线化为标准方程为，

所以，即，

故准线方程为：.

故答案为：.

6. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________.

【答案】.

【解析】

【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.

【详解】如下图示，

当直线过A时，，

当直线过B时，，

由图知：.

故答案为：

7. 已知直线，则直线恒过定点______.

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得，令，解得即可.

详解】解：直线即，

令，解得，所以直线恒过定点.

故答案为：

8. 在等比数列中，，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】设等比数列的公比为，依题意得到关于、的方程组，解得即可.

【详解】解：设等比数列的公比为，

由，，

所以， 解得，

所以.

故答案为：

9. 若椭圆与椭圆圆扁程度相同，则的值为______．

【答案】或

【解析】

【分析】根据焦点的位置以及椭圆离心率的计算公式即可求解.

【详解】两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，

椭圆的离心率为，

当焦点在轴时，椭圆的离心率为，解得

当焦点在轴时，椭圆的离心率为，可得，

故的值为或，

故答案为：或

10. 若P（m，8）是焦点为F的抛物线上的一点，则______．

【答案】10

【解析】

【分析】根据点在抛物线上求出，再根据抛物线的焦半径公式可求出结果.

【详解】因为点在抛物线上，所以，得，所以，

由得，准线方程为，

所以

故答案为：.

11. 双曲线的弦被点平分，则直线的方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意易得直线斜率存在时，设方程，，进而联立方程，结合韦达定理，中点公式求解即可.

【详解】解：当直线斜率不存在时，方程为，根据双曲线的对称性，不能平分弦，故不满足题意；

当直线斜率存在时，设方程为，，

所以，联立方程得，

所以，，，

因为弦被点平分，所以，

所以，解得，

此时联立后的方程为，满足，

所以，直线的方程为，即

故答案为：

12. 已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】记等边的边长为，利用双曲线的定义得到，进而在中利用余弦定理求得，从而求得双曲线的离心率.

【详解】因为是等边三角形，不妨记，所以，

由双曲线的定义得，故，

所以，

又由双曲线的定义得，所以，故，

所以，，

在中，，则，

所以，整理得，故，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

.

二、选择题（每小题5分，共20分）

13. 下列说法中正确的是（    ）

A. 事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

B. 事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小

C. 互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件

D. 互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件

【答案】D

【解析】

【分析】对于AB，利用事件运算方法，举反例排除即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.

【详解】对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；

事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；

又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，

所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；

对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，

而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；

对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.

故选：D.

14. 质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量,抽查总量的2%,在这个问题中,下列说法正确的是(　　)

A. 总体是指这箱2 500件包装食品 B. 个体是一件包装食品

C. 样本是按2%抽取的50件包装食品 D. 样本容量是50

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的对象是：质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，依据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量是样本中包含的个体的数目，即可作出判断．

【详解】A、2总体是指这箱2 500件包装食品的质量，错误；

B、个体是一件包装食品的质量，错误；

C、样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，错误；

D、样本容量是50，正确．

故选D．

【点睛】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的概念与应用问题，是基础题．

15. 现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（    ）

A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，②分层随机抽样

C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法，②随机数法

【答案】A

【解析】

【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.

【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；

对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.

故选：A.

16. 如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】不妨设渐近线方程为，根据点到直线的距离得到，，得到双曲线方程.

【详解】不妨设渐近线方程为，即，下焦点为，

下焦点到渐近线的距离为，离心率，

，解得，故双曲线方程为.

故选：D

三．解答题

17. 在等差数列中，为其前项的和，已知，．

（1）求；

（2）求数列的最大值．

【答案】（1）   

（2）49

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，即可解出，的值，进而求解即可；

（2）根据等差数列的前项和公式求出，结合二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，

由，，

可得，解得，，

所以.

【小问2详解】

因为，

因为，所以当时，取得最大值.

18. 已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求实数的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.

（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.

【小问1详解】

因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，

由离心率得：，解得，

所以椭圆C的标准方程是.

【小问2详解】

由消去y并整理得：，

有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，

于是，，

解得，满足条件，

所以.

19. 如图，在长方体中，，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；

（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

解：以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

所以，，，

所以，，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

【小问2详解】

解：设平面的法向量为，，

则，取，则，

因为，所以，.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

20. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：

（1）直方图中的a的值；

（2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数．

（3）为了更好了解消费者和激励消费，网络公司决定在这10000名消费者中用分层随机抽样法抽取100名进一步做调查问卷和奖励.再从这100名中消费在内的个体内抽取一等奖两名，求中奖的2人中消费在，内各一人的概率.

【答案】（1）3.0；   

（2）6000；    （3）.

【解析】

【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1，列式计算作答.

（2）求出消费金额在区间内的频率即可求解作答.

（3）求出抽取的100名消费者中，消费在内的个体数，及消费在，内的个体数，再利用组合求概率作答.

【小问1详解】

由频率分布直方图得：，解得，

所以直方图中的a的值为3.0.

【小问2详解】

由频率分布直方图得，消费金额在区间内的频率是，

所以消费金额在区间内的购物者的人数约为：.

【小问3详解】

用分层随机抽样法抽取的100名消费者中，消费在内的个体数为，

其中消费在，内的个体数分别为，，

因此从10人中任取2人的试验有个基本事件，消费在，内各一人的事件有个基本事件，

所以中奖的2人中消费在，内各一人的概率.

21. 已知抛物线的焦点为F，准线为l；

（1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；

（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；

（3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；

【答案】（1）   

（2）   

（3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解

【解析】

【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.

【小问1详解】

抛物线的焦点为，准线为，

双曲线的方程为双曲线，即，则，

由题意可知：，则，

故双曲线C的离心率.

【小问2详解】

由（1）可知：，

过点P作直线的垂线，垂足为M，则，

∵，且，

∴，

故直线EP的倾斜角，斜率，

∴直线EP的方程为，即.

【小问3详解】

以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下：

设直线，

联立方程，消去y可得：，

则可得：，

∵直线，当时，，

∴，

同理可得：，

∵

，

，

则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，

故圆C的方程为，整理得，

令，则，解得或，

故以线段MN为直径的圆C过定点.

【点睛】思路点睛：

过定点问题的两大类型及解法：

(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．

(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．