湘教版数学九年级下册 2.5.4 三角形的内切圆 课件

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2.5 直线与圆的位置关系第2章 圆2.5.4 三角形的内切圆 情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案.方案一方案二方案三方案四√合作探究猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________.方案二切∟∟∟O三角形的内切圆画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.半径到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点.平分线平分线交已知：△ABC.求作：和 △ABC 的各边都相切的圆.做一做作法：1. 作 ∠B 和∠C 的平分线 BM 和 CN，交点为 O.2. 过点 O 作 OD⊥BC.垂足为 D.3. 以 O 为圆心，OD 为半径作圆 O.☉O 就是所求的圆.O观察与思考与 △ABC 的三条边都相切的圆有几个？因为∠B 和∠C 的平分线的交点只有一个，并且交点 O 到 △ABC 三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC 三边都相切的圆有且只有一个.知识要点ABCＯ外切三角形内切圆内心1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4. 三角形的内心就是三角形三条角平分线 的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.三角形三边中垂线的交点1. OA = OB = OC；2. 外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1. 到三边的距离相等；2. OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3. 内心在三角形内部．C例1 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A = 70°， 求 ∠BOC 的度数。解：∵∠A = 70°∴∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线典例精析∴∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB) = 180°- (∠ABC +∠ACB) = 180°- ×110° = 125°.例2 △ABC 的内切圆 ⊙O 与BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.解:设 AF = x cm，则 AE = x cm.∴CE = CD = AC - AE = (9 - x) cm， BF = BD = AB - AF = (13 - x) cm.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACB由 BD+CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14，∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x = 4.ACB例3 如图，Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ a，AC ＝b， AB ＝ c，⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆. 求：Rt△ABC 的内切圆的半径 r.∵ ⊙O 与Rt△ABC 的三边都相切∴AD ＝ AF，BE ＝ BF，CE ＝ CD解：设 Rt△ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，连接 OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.B·ACEDFO设 AD = x ， BE = y ，CE ＝ r . B·ACEDFO 设 Rt△ABC 的直角边为 a、b，斜边为 c，则 Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或 r＝ (前面课时已证明).(1) 三角形的内心是三角形三边中垂线的交点.（ ）(2) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.（ ）(3) 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等.（ ）(4) 三角形的内心到三角形各边的距离相等.（ ）(5) 三角形的内心一定在三角形的内部.（ ）(6) 三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角. （ ）错对对对错对1. 判断对错2. 如图，已知点 O 是△ABC 的内心，且∠ABC = 60°， ∠ACB = 80°，则∠BOC = . 110° A3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF = 3，BD + CE = 12，则 △ABC 的周长是 .30·BDEFOCA4. 如图，△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为 l，求△ABC 的面积 S .解：设△ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，则 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC ＝ S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF＝ l·r5. 如图，已知 E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC于点 F，且与 △ABC 的外接圆相交于点 D.(1) 证明：∵E 是 △ABC 的内心，∴∠ABE ＝ ∠CBE，∠BAD ＝ ∠CAD.又∵∠CBD ＝ ∠CAD，∴∠BAD ＝ ∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD ＝ ∠ABE＋∠BAD.即∠DBE ＝ ∠DEB，故 BD ＝ ED.(1) 求证：BD ＝ ED；(2) 若AD ＝ 8 cm，DF:FA ＝ 1:3.求 DE 的长．(2) 解：∵AD ＝ 8 cm，DF∶FA ＝ 1∶3，∴DF ＝ AD＝ ×8＝ 2 ( cm )．∵∠CBD ＝ ∠BAD，∠D ＝ ∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ， ∴BD2 ＝ AD·DF＝ 8×2 ＝ 16，∴BD ＝ 4 cm.又∵BD ＝ DE，∴DE ＝ 4 cm.拓展提升：6.直角三角形的两直角边分别是 3 cm ，4 cm，试问：(1) 它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm.(2) 若移动点 O 的位置，使 ☉O 保持与△ABC 的边 AC、BC 都相切，求 ☉O的半径 r 的取值范围.1 解：设 BC = 3 cm，由题意可知与 BC、AC 相切的最大圆与 BC、AC 的切点分别为 B、D，连接 OB、OD，则四边形 BODC 为正方形.∴OB ＝ BC ＝ 3 cm，∴半径 r 的取值范围为 0＜ r ≤ 3 cm.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内切圆应用重要结论内心(三角形三条角平分线的交点)外切三角形