湘教版数学九年级下册 第1章小结与复习 课件

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第1章 二次函数小结与复习 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca ≠ 0【注意】(1) 等号右边必须是整式；(2) 自变量的最高次数是 2；(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．1. 二次函数的概念4. 二次函数表达式的求法（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 ) （2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 )（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 )5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三种情况:有两个交点，有两个重合的交点，没有交点.当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根.有两个公共点有两个不同的实数根b2 - 4ac ＞ 0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2 - 4ac = 0没有公共点没有实数根b2 - 4ac ＜ 06. 二次函数的应用（1）二次函数的应用包括以下两个方面： ① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； ② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．（2）一般步骤：① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义．例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是(　　) A. y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2B例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________．(1，2)例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)A．1　　 　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴 x＞－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 －1 的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b异号⇔对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2. 当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上 x＝1 的点在 x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上 x＝－1的点判断 a－b＋c 的符号.例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3B例5 若函数 y = x2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是（　　） A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1A1. 对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是 (　 )A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3C. 当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小C2. 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是(　)A. y = B. y = x-1 C. D. y = -3x2 D3. 已知二次函数 y = －x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线 x = 1 的左侧而抛物线 y=－x2＋2bx＋c 的对称轴 ，即b≤1，故选择 D .4. 如图，抛物线 y = ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线 x = 1，则 y＜0 时 x 的范围是（　　）A．x＞4 或 x＜-2 B．-2＜x＜4 C．-2＜x＜3 D．0＜x＜3B5. 若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则必须（ ）A. 先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位B例6 已知关于 x 的二次函数，当 x = －1 时，函数值为 10，当 x = 1 时，函数值为 4，当 x = 2 时，函数值为 7，求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为 y＝ax2+bx＋c, 由题意得：解得， a = 2，b = －3，c = 5.∴ 所求的二次函数表达式为 y＝2x2－3x＋5.6. 已知抛物线 y = ax2+bx+c 与抛物线 y = －x2－3x+7的形状相同，顶点在直线 x = 1上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:∵抛物线 y = ax2+bx+c 与抛物线 y = －x2－3x+7 的形状相同 ∴ a = 1或－1. 又∵顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5， ∴ 顶点为 (1，5) 或 (1，－5). 所以其表达式为: (1) y = (x－1)2+5 (2) y = (x－1)2－5 (3) y = －(x－1)2+5 (4) y = －(x－1)2－5例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1) 求一次函数的表达式；(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？考点三 二次函数的应用解得 k = -1，b = 120. 故所求一次函数的表达式为 y = -x+120.(2)W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2+900，∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W 随 x 的增大而增大，而60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87，∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900 = 891. 7. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1) 求该抛物线对应的二次函数表达式；(2) 该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3) 若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．(2) y = -x2+14x = -(x-7)2+49.即当 x = 7 时，利润最大，y = 49 (万元）(3) 没有利润，即y = -x2+14x = 0.解得x1 = 0(舍去)或x2 = 14，而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损. 8. 张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1) 请你求出张大伯矩形羊圈的面积；解：(1)由题意得羊圈的长为 25 m，宽为 (40 - 25)÷2 = 7.5 (m).故羊圈的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 )(2) 请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.(2) 设羊圈与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，羊圈的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x = -2(x -10)2 + 200(7.5≤x＜20).∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时，S 有最大值，此时 S = 200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为(40-2x) m = 20 m.考点四 二次函数与几何的综合例9 如图，抛物线y=x2+bx+c经过点 (1，-4) 和 (-2，5)，请解答下列问题：(1) 求抛物线的表达式；解：(1) 由题意，得解得所以，该抛物线的表达式为y = x2-2x-3；(2) 若抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，与 y 轴交于点C．在该抛物线上是否存在点 D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由.(2) ∵抛物线y = x2-2x-3的对称轴为x = 1，∴图中点 C 关于 x = 1的对称点 D 即为所求，此时，AC = BD，BC = AD，在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS）．在 y = x2-2x-3 中，令x = 0，得y = -3，则C（0，-3），∴D（2，-3）． 二次函数二次函数的概念二次函数与一元二次方程的联系二次函数的图象与性质不共线三点确定二次函数的表达式二次函数的应用