2023年黑龙江省齐齐哈尔市甘南县西部六校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年黑龙江省齐齐哈尔市甘南县西部六校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，为有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各运算中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  从，，这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程随时间的变化规律的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某车间工人在某一天的加工零件数只有件，件，件，件四种情况．图中描述了这天相关的情况，现在知道是这一天加工零件数的唯一众数．设加工零件数是件的工人有人，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

8.  疫情期间，小明要用元钱买、两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，元全部用完．若型口罩每个元，型每个元，则小明的购买方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9.  如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：其中，正确的个数有(    )
；；；．

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共31.0分）

11.  年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，月日成功定点于距离地球公里的地球同步轨道将用科学记数法表示应为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______．

13.  如图，，那么要得到≌，可以添加一个条件是         填一个即可

14.  圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则此圆锥的侧面积是______ ．

15.  等腰三角形的周长为，其一边长为，那么，它的底边长为______ ．

16.  如图，矩形的两边，的长分别为，，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点，连接，若，则的值为______ ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是______．

18.  为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

本次抽样调查的样本容量是________；

补全条形统计图；

该市共有名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过册的人数．

三、解答题（本大题共6小题，共59.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
因式分解：．

20.  本小题分
解方程：．

21.  本小题分
如图，已知是的直径，点在上，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离千米与时间时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
求线段对应的函数表达式；
在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．

23.  本小题分
如图，已知正方形，点，分别在边，上，且此时与有怎样的数量关系？
如图，绕点顺时针旋转，当时，连接，，此时与仍有中的数量关系吗？如果成立，请说明理由，否则，请举出反例；
当时图，连接，猜想与有什么数量关系时，直线是的垂直平分线？试说明理由．
 

24.  本小题分
如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点是抛物线的顶点，对称轴与轴交于．
求抛物线的解析式；
如图，在抛物线的对称轴上求作一点，使的周长最小，并求出点的坐标和周长的最小值．
如图，点是轴上的动点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于、设点的横坐标为是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是无理数，
是有理数，
故选：．
根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、是中心对称图形，本选项正确；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法运算，幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的除法运算法则，幂的乘方与积的乘方法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中积为正数的有种结果，
所以积为正数的概率为，
故选：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为登山过程可知：
先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．
所以在登山过程中，他行走的路程随时间的变化规律的大致图象是．
故选：．
根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除和，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度，排除，进而可以判断．
本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是这一天加工零件数的唯一众数，加工零件数是件的工人有人，
，
故选：．
根据统计图中的数据和众数的概念，可知，本题得以解决．
本题考查条形统计图、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数且列式求出的范围即可．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
由方程的解为正数且，得到，且，
解得且，
故选：  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设可以购买个型口罩，个型口罩，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出购买方案的数量．
【解答】
解：设可以购买个型口罩，个型口罩，
依题意，得：，

又，均为正整数，
，，
小明有种购买方案．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个不同交点，因此，故是错误的；
由图象可知，当时，，因此是错误的；
由开口方向可得，，对称轴在轴右侧，、异号，因此，与轴交点在负半轴，因此，所有，因此正确的；
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，就是当时，对应抛物线上有两个不同的点，即，，由图象可知此时
因此正确的，
综上所述，正确的有两个，
故选：．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】且 

【解析】解：由题可得，，
解得，
自变量的取值范围是且，
故答案为：且．
当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
 

13.【答案】或等 

【解析】解：，，
当添加时，根据“”可判断，≌；
当添加时，根据“”可判断，≌；
当添加时，根据“”可判断，≌．
故答案为：或等．
根据全等三角形的判定方法，可根据或或添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，
所以这个圆锥的侧面积．
故答案为：．
根据视图的意义得到圆锥的母线长为，底面圆的半径为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：是底边时，腰长为，
此时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形；
是腰长时，底边为，
此时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形．
综上所述，底边长为．
故答案为：．
分是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：矩形中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
设点坐标为，则点坐标为，
，两点在反比例函数的图象上，
，解得，
，
，
故答案为．
根据勾股定理，可得的长，根据线段的和差，可得，可得点坐标，根据待定系数法，可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质；利用，两点在反比例函数图象上得出关于的方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：半径为个单位长度的半圆的周长为，
点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
点每秒走个半圆，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为，
，
余，
的坐标是，
故答案为：．
根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
 

18.【答案】解：；
阅读册的人数是人，
阅读册的人数是人，
条形统计图如下：
；
人，
答：估计该市初中学生这学期课外阅读超过册的人数是人． 

【解析】

【分析】
根据册的人数除以占的百分比即可得到总人数；
求出册的人数是人，册的人数是人，再画出即可；
先列出算式，再求出即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键．
【解答】
解：册，
即本次抽样调查的样本容量是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

19.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案；
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
设，
，
，
或
或，
或． 

【解析】根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
直线是的切线；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
平分，，
，
，，
，
，
，． 

【解析】连接，先证出，得，再由平行线的性质得，即可得出结论；
连接，先由圆周角定理得，由角平分线定义得，再由含角的直角三角形的性质得，，进而得出答案．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：由图象可得，
货车的速度为千米小时，
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米，
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米；
设线段对应的函数表达式是，
点，点，
，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
当时，两车之间的距离为：，
，
在轿车行进过程，两车相距千米时间是在之间，
由图象可得，线段对应的函数解析式为，
则  ，
解得，，
轿车比货车晚出发小时，小时，小时，
在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米． 

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
根据函数图象中的数据，可以得到线段对应的函数表达式；
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．
 

23.【答案】解：与的数量关系：，理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
；
仍有成立，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
≌，
；
与的数量关系为：，理由如下：
连接，如图所示：
当时，则点落在边上，
，
、、三点共线，
直线是的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
，
． 

【解析】，根据正方形的性质即可得出结果；
由证得≌即可解决问题；
连接，易证、、三点共线，由垂直平分线的性质得出，由正方形的性质得出，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识；中正确寻找全等三角形、中证明、、三点共线是解题的关键．
 

24.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
抛物线的解析式为：；

如下图，连接交于点，此时最小，

又因为是定值，所以此时的周长最小．
由题意可知，，
，同理，
此时的周长；
是抛物线的对称轴，与轴交点和，
，对称轴为 ，
由，得，
，
又点在第四象限，在抛物线的对称轴上，
；

存在这样的点，使是等腰三角形．
点的横坐标为，故点，点，
则，，，
当时，则，解得舍去或；
当时，同理可得舍去或；
当时，同理可得舍去或，
综上，或或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
连接交于点，此时最小，进而求解；
分、、三种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．