第16章 二次根式——2022-2023学年初中数学人教版八年级下册期中复习讲与练学案（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7045" 16.1 二次根式及其概念-知识与方法 PAGEREF _Tc7045 \h 3
\l "_Tc19501" 知识点① 二次根式 PAGEREF _Tc19501 \h 3
\l "_Tc4544" 知识点② 使二次根式有意义的条件 PAGEREF _Tc4544 \h 3
\l "_Tc5841" 知识点③ 二次根式的性质 PAGEREF _Tc5841 \h 4
\l "_Tc12525" 方法① 二次根式的辨别方法 PAGEREF _Tc12525 \h 5
\l "_Tc9884" 方法② 利用二次根式的非负性解题的方法 PAGEREF _Tc9884 \h 5
\l "_Tc31159" 方法③ 二次根式的化简方法 PAGEREF _Tc31159 \h 5
\l "_Tc9051" 方法④ 二次根式的应用 PAGEREF _Tc9051 \h 5
\l "_Tc16194" 方法⑤ 二次根式(a≥0）的计算方法 PAGEREF _Tc16194 \h 5
\l "_Tc23559" 方法⑥ 逆用=a(a≥0)在实数范围内分解因式 PAGEREF _Tc23559 \h 6
\l "_Tc17273" 16.1 二次根式及其概念-知识与方法-考点分类汇编 PAGEREF _Tc17273 \h 7
\l "_Tc26191" 【考点1】 二次根式 PAGEREF _Tc26191 \h 7
\l "_Tc31486" 【命题点（一）】 求二次根式的值 PAGEREF _Tc31486 \h 7
\l "_Tc27469" 【命题点（二）】 求二次根式中的参数 PAGEREF _Tc27469 \h 7
\l "_Tc23926" 【命题点（三）】 二次根式有意义的条件 PAGEREF _Tc23926 \h 7
\l "_Tc4904" 【命题点（四）】 利用二次根式的性质化简 PAGEREF _Tc4904 \h 7
\l "_Tc3391" 【命题点（五）】 复合二次根式的化简 PAGEREF _Tc3391 \h 7
\l "_Tc20071" 16.2 二次根式的运算-知识与方法 PAGEREF _Tc20071 \h 8
\l "_Tc14805" 知识点① 二次根式的乘法 PAGEREF _Tc14805 \h 8
\l "_Tc29509" 知识点② 二次根式的除法 PAGEREF _Tc29509 \h 8
\l "_Tc31351" 知识点③ 积的算术平方根 PAGEREF _Tc31351 \h 8
\l "_Tc5707" 知识点④ 商的算术平方根 PAGEREF _Tc5707 \h 8
\l "_Tc2756" 知识点⑤ 最简二次根式 PAGEREF _Tc2756 \h 8
\l "_Tc238" 知识点⑥ 二次根式的加减 PAGEREF _Tc238 \h 8
\l "_Tc24933" 知识点⑦ 二次根式的混合运算 PAGEREF _Tc24933 \h 9
\l "_Tc32272" 方法① 二次根式化简的方法 PAGEREF _Tc32272 \h 10
\l "_Tc6412" 方法② 二次根式乘除运算的方法 PAGEREF _Tc6412 \h 10
\l "_Tc13202" 方法③ 二次根式加减运算的方法 PAGEREF _Tc13202 \h 10
\l "_Tc9796" 方法④ 分母有理化的方法 PAGEREF _Tc9796 \h 10
\l "_Tc14674" 方法⑤ 因式的外移和内移的方法 PAGEREF _Tc14674 \h 11
\l "_Tc26856" 方法⑥ 与二次根式相关的混合运算的方法 PAGEREF _Tc26856 \h 11
\l "_Tc24914" 方法⑦ 二次根式比较大小的方法 PAGEREF _Tc24914 \h 11
\l "_Tc24130" 16.2 二次根式的运算-知识与方法-考点分类汇编 PAGEREF _Tc24130 \h 12
\l "_Tc472" 【考点2】 二次根式的乘除 PAGEREF _Tc472 \h 12
\l "_Tc8471" 【命题点（一）】 二次根式的乘法 PAGEREF _Tc8471 \h 12
\l "_Tc22980" 【命题点（二）】 二次根式的除法 PAGEREF _Tc22980 \h 12
\l "_Tc3891" 【命题点（三）】 二次根式的乘除混合运算 PAGEREF _Tc3891 \h 12
\l "_Tc10356" 【命题点（四）】 化为最简二次根式 PAGEREF _Tc10356 \h 12
\l "_Tc26672" 【命题点（五）】 已知最简二次根式求参数 PAGEREF _Tc26672 \h 12
\l "_Tc7664" 【考点3】 二次根式的加减 PAGEREF _Tc7664 \h 12
\l "_Tc6023" 【命题点（一）】 同类二次根式 PAGEREF _Tc6023 \h 12
\l "_Tc11563" 【命题点（二）】 二次根式的加减运算 PAGEREF _Tc11563 \h 12
\l "_Tc11318" 【命题点（三）】 二次根式的混合运算 PAGEREF _Tc11318 \h 12
\l "_Tc22943" 【命题点（四）】 分母有理化 PAGEREF _Tc22943 \h 12
\l "_Tc21113" 【命题点（五）】 比较二次根式的大小 PAGEREF _Tc21113 \h 12
\l "_Tc8854" 【命题点（六）】 二次根式的应用 PAGEREF _Tc8854 \h 12
16.1 二次根式及其概念-知识与方法
二次根式 ★★☆
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
使二次根式有意义的条件 ★★★
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
二次根式的性质 ★★☆
（1）二次根式的基本性质：①a≥0； a≥0（双重非负性）．②（a）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
二次根式的辨别方法 ★☆☆
判断一个根式是二次根式，一定要满足被开方数大于或等于零，根指数是2，当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论.
利用二次根式的非负性解题的方法 ★★☆
因为二次根式(a≥0)表示a的算术平方根，所以≥0,这个性质也是非负数的算术平方根的性质。对于二次根式非负性的应用，常见题型是几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0”，这一性质在解题中应用广泛。
二次根式的化简方法 ★★★
对进行化简时，要先得到，再根据a的取值化简，依据绝对值化简得出结果。
二次根式的应用 ★★☆
在解决二次根式的有关问题中，如果被开方数是完全平方式，就可以利用“”这一性质进行化简或求值.在解题过程中一定要注意“a”的取值范围
二次根式(a≥0）的计算方法 ★★☆
一个正数a的算术平方根是，由平方根的定义可知(a≥0).在进行含有二次根式的平方运算时，常常直接利用(a≥0)这一性质去掉根号，在计算过程中要时刻注意“a”的非负性。
逆用=a(a≥0)在实数范围内分解因式 ★☆☆
一般地，如果题目没有指明在什么范围内，分解因式，都是指在有理数范围内分解因式，如果指明在实数范围内分解因式，就需要把正数a转化为,以利于使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
16.1 二次根式及其概念-知识与方法-考点分类汇编
二次根式
求二次根式的值
已知点为第二象限的一点，且点到的距离为4，且，则（ ）
A．3B．C．D．
【解答】∵点为第二象限的点，∴，，∵点A到x的距离为4，
∴，∵，∴，∴，故选：A．
当时，代数式的值是__________．
【解答】解：将代入得，，故答案为：0．
当a=－1时，二次根式的值为________．
【解答】当a=－1时，，故答案为：4．
求二次根式中的参数
已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
如果是一个正整数，则整数的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【解答】解：∵是一个正整数，
∴，
∴，
∵为整数，
∴a的最小值为，
且时，符合题意，故A正确．
故选：A．
已知n是正整数，是整数，则n的最小值为_________．
【解答】解：∵122＝144，132＝169，
∴151+n＝169，
∴n＝18．故答案为：18．
二次根式有意义的条件
在二次根式中．x的值可以是（ ）
A．B．2C．1D．0.5
【解答】解：由题意得，∴或，∴或，故选A．
若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【解答】解：二次根式有意义，，解得：．故选：B．
若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，解得：，故选D．
代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．，且B．C．D．
【解答】解：由题意得：，解得：，故选：B．
如果，那么的值是______．
【解答】∵，，∴，∴，
∴，故答案为100．
若，则的算术平方根为______．
【解答】解：∵有意义，∴，∴，∴，∴，∵4的算术平方根为2，∴的算术平方根为2，故答案为：2．
若有意义，则的取值范围是______．
【解答】∵有意义，∴，∴的取值范围是：故答案为：
利用二次根式的性质化简
已知，化简（ ）
A．1B．3C．D．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故选：A．
将根号外的因式移到根号内为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，
∴．
故选：B．
实数a、b在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（ ）
A．2aB．2bC．D．
【解答】解：由数轴可得，，
，
原式，
故选：D．
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：的结果是___________．
【解答】解：由数轴可得，
，，
∴，
故答案为：．
已知，化简：_______．
【解答】；
因为，所以，
即，
故答案为：．
已知，那么________．
【解答】∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5．
已知，则______．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，
，
故答案为：1
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝______________．
【解答】解：由数轴可得：，，∴，，，
∴原式，故答案为：．
复合二次根式的化简
若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】∵，∴，∴-2．故选A．
把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【解答】∵被开方数，分母.∴，∴.
∴原式．故选D．
化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：x＜0，∴，故选：D．
把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：，解得：x>2，∴；
故选D．
化简＝_______
【解答】解：==
==，故答案为：．
像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【解答】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
，，又为正整数，，或者，
当时，；当，，综上所述，a的值为或．
阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中、、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________；
(2)若，且、均为正整数，试化简：；
(3)化简：．
【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴；
（3）
．
阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
【解答】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
16.2 二次根式的运算-知识与方法
二次根式的乘法 ★★★
二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）
二次根式的除法 ★★☆
二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
积的算术平方根 ★★☆
积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）
商的算术平方根 ★★☆
商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）
最简二次根式 ★☆☆
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
二次根式的加减 ★★★
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
二次根式的混合运算 ★★★
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
二次根式化简的方法 ★★★
把二次根式化简为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简
1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽
2.如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简.
3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简
二次根式乘除运算的方法 ★★★
二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数，则要先将其化为假分数
二次根式加减运算的方法 ★★★
将各个二次根式化成最简二次根式，找出化简后被开方数相同的二次根式，将其合并.若有括号，则先去掉括号再运算.另外，有理数的加法交换律结合律都适合于二次根式的运算
分母有理化的方法 ★☆☆
在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，具体做法如下：
1)
2)可通过类比分式中的“约分”进行分母有理化，如
因式的外移和内移的方法 ★☆☆
1)如果被开方数中的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替移到根号外面；
2)如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再将因式开方后移到根号外面，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面.
与二次根式相关的混合运算的方法 ★★☆
二次根式的运算顺序同实数的运算顺序一样，都是从高级到低级进行运算，有括号的先算括号里的.有时可用一些方法技巧简化运算.
二次根式比较大小的方法 ★★☆
1)平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可.如当a>0,b>0时，若a2>b2,则a>b.
2)比较被开方数法：先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
3)作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a,b都是正数时，①若>1，则a>b;②若=1，则a=b;③若