第18章18.2 特殊平行四边形——2022-2023学年初中数学人教版八年级下册期中复习讲与练学案（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1075" 18.2 特殊平行四边形-知识与方法 PAGEREF _Tc1075 \h 3
\l "_Tc19535" 知识点① 矩形 PAGEREF _Tc19535 \h 3
\l "_Tc26929" 知识点② 矩形的性质定理 PAGEREF _Tc26929 \h 3
\l "_Tc30175" 知识点③ 矩形的判定定理 PAGEREF _Tc30175 \h 3
\l "_Tc7431" 知识点④ 矩形的对称性 PAGEREF _Tc7431 \h 4
\l "_Tc6756" 知识点⑤ 菱形 PAGEREF _Tc6756 \h 4
\l "_Tc31361" 知识点⑥ 菱形的性质定理 PAGEREF _Tc31361 \h 4
\l "_Tc32642" 知识点⑦ 菱形的判定定理 PAGEREF _Tc32642 \h 4
\l "_Tc13992" 知识点⑧ 菱形的面积公式 PAGEREF _Tc13992 \h 5
\l "_Tc23596" 知识点⑨ 正方形 PAGEREF _Tc23596 \h 5
\l "_Tc29293" 知识点⑩ 正方形的性质 PAGEREF _Tc29293 \h 5
\l "_Tc9264" 知识点⑪ 正方形的判定 PAGEREF _Tc9264 \h 5
\l "_Tc22144" 知识点⑫ 正方形的对称性 PAGEREF _Tc22144 \h 5
\l "_Tc14643" 知识点⑬ 四边形之间的关系 PAGEREF _Tc14643 \h 5
\l "_Tc29407" 方法① 矩形有关性质的应用方法 PAGEREF _Tc29407 \h 6
\l "_Tc29823" 方法② 矩形的判定方法 PAGEREF _Tc29823 \h 6
\l "_Tc10214" 方法③ 矩形的性质与全等三角形相结合在解题中的应用方法 PAGEREF _Tc10214 \h 6
\l "_Tc22607" 方法④ 菱形有关性质的应用方法 PAGEREF _Tc22607 \h 6
\l "_Tc19690" 方法⑤ 菱形面积的计算方法 PAGEREF _Tc19690 \h 7
\l "_Tc27779" 方法⑥ 菱形的判定方法 PAGEREF _Tc27779 \h 7
\l "_Tc10408" 方法⑦ 利用菱形的判定定理判断两线段垂直的方法 PAGEREF _Tc10408 \h 7
\l "_Tc10718" 方法⑧ 正方形性质的应用方法 PAGEREF _Tc10718 \h 7
\l "_Tc12801" 方法⑨ 正方形的性质与等边三角形相结合在解题中的应用方法 PAGEREF _Tc12801 \h 7
\l "_Tc12343" 方法⑩ 正方形的判定方法 PAGEREF _Tc12343 \h 7
\l "_Tc998" 方法⑪ 正方形的性质在探索开放性问题中的应用方法 PAGEREF _Tc998 \h 7
\l "_Tc10063" 18.2 特殊平行四边形-考点分类汇编 PAGEREF _Tc10063 \h 8
\l "_Tc1382" 【考点1】 矩形 PAGEREF _Tc1382 \h 8
\l "_Tc26399" 【命题点（一）】 利用矩形性质求长度 PAGEREF _Tc26399 \h 8
\l "_Tc3879" 【命题点（二）】 利用矩形性质求面积 PAGEREF _Tc3879 \h 8
\l "_Tc11236" 【命题点（三）】 利用矩形性质求角 PAGEREF _Tc11236 \h 8
\l "_Tc25060" 【命题点（四）】 矩形与折叠问题 PAGEREF _Tc25060 \h 8
\l "_Tc31532" 【命题点（五）】 斜边中线等于斜边一半 PAGEREF _Tc31532 \h 8
\l "_Tc7590" 【命题点（六）】 利用矩形性质求长度 PAGEREF _Tc7590 \h 8
\l "_Tc19125" 【命题点（七）】 添加一个添加使四边形成为矩形 PAGEREF _Tc19125 \h 8
\l "_Tc10177" 【命题点（八）】 矩形的证明 PAGEREF _Tc10177 \h 8
\l "_Tc16096" 【考点2】 菱形 PAGEREF _Tc16096 \h 9
\l "_Tc7661" 【命题点（一）】 利用菱形性质求长度 PAGEREF _Tc7661 \h 9
\l "_Tc17913" 【命题点（二）】 利用菱形性质求面积 PAGEREF _Tc17913 \h 9
\l "_Tc9967" 【命题点（三）】 利用菱形性质求角度 PAGEREF _Tc9967 \h 9
\l "_Tc16050" 【命题点（四）】 添加一个添加成为菱形 PAGEREF _Tc16050 \h 9
\l "_Tc13733" 【命题点（五）】 菱形的证明 PAGEREF _Tc13733 \h 9
\l "_Tc2945" 【考点3】 正方形 PAGEREF _Tc2945 \h 9
\l "_Tc14722" 【命题点（一）】 根据正方形性质求长度 PAGEREF _Tc14722 \h 9
\l "_Tc16820" 【命题点（二）】 根据正方形性质求面积 PAGEREF _Tc16820 \h 9
\l "_Tc20397" 【命题点（三）】 根据正方形性质求角度 PAGEREF _Tc20397 \h 9
\l "_Tc23173" 【命题点（四）】 正方形的折叠问题 PAGEREF _Tc23173 \h 9
\l "_Tc25191" 【命题点（五）】 正方形的证明 PAGEREF _Tc25191 \h 9
\l "_Tc15731" 【命题点（六）】 中点四边形 PAGEREF _Tc15731 \h 9
18.2 特殊平行四边形-知识与方法
矩形★★☆
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形的性质定理★★★
矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
矩形的判定定理★★★
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
矩形的对称性★☆☆
1.矩形是轴对称图形，
有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线。过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分。
2.矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心
菱形★★☆
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质定理★★★
菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
菱形的判定定理★★★
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
菱形的面积公式★★☆
菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
正方形★★☆
正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形的性质★★★
正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
正方形的判定★★☆
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
正方形的对称性★★☆
1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线。
2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心
四边形之间的关系★☆☆
或者可表示为：
矩形有关性质的应用方法★★★
矩形的性质是求角度、线段的长度等问题常用的知识，可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等
矩形的判定方法★★★
1.在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件即可判定该平行四边形为矩形
2.在四边形的基础上，有三个角是直角（第四个角必是直角)，则可判定该四边形为矩形
矩形的性质与全等三角形相结合在解题中的应用方法★★☆
由矩形的性质可得到两组对边相等，对角线相等且互相平分和四个直角，当解决以矩形为背景的几何问题时，常常借助这些边和直角并结合全等三角形的知识把已知条件和未知条件联系起来，使问题得以解决。
菱形有关性质的应用方法★★★
菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决；菱形的四条边都相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多.利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合.
菱形面积的计算方法★★☆
菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形的面积公式可推知菱形面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.在求菱形面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活地选择面积公式来解决问题
菱形的判定方法★★★
判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线垂直”的条件即可判定其为菱形；若在四边形的基础上，则需有四条边都相等才可判定其为菱形。
利用菱形的判定定理判断两线段垂直的方法★☆☆
若直接通过证明角是直角来说明两线段垂直比较困难，可联想到菱形的对角线互相垂直这一性质，通过构造菱形，将问题转化为菱形的判定问题，进而求解
正方形性质的应用方法★★★
在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来证两条线段相等，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等.
正方形的性质与等边三角形相结合在解题中的应用方法★★☆
由正方形的性质可得四条边相等，四个内角都是直角及对角线互相垂直平分且相等，而等边三角形三条边相等，三个角都是60°.把正方形和等边三角形放在一起，使得图形之间的关系丰富起来，同时也使得这样的图形中边角问题的探讨难度增大不少.这就需要我们把两个图形提供的边角关系与已知条件和未知条 件联系起来解决问题。
正方形的判定方法★★☆
在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判断的，要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法。
正方形的性质在探索开放性问题中的应用方法★★☆
近年来，中考中出现了许多与正方形有关的开放探究题、操作题，综合性较强.解决这类问题通常有以下思路：其一是弄清图形中存在哪些不变量及不变的关系；其二是通过观察、类比、联想，进而解决拓展性问题。
18.2 特殊平行四边形-考点分类汇编
矩形
利用矩形性质求长度
如图，矩形中，，交于点O，M，N分别为，的中点．若，，则的长为（ ）
A．8B．10C．D．
【解答】解：∵M，N分别为，的中点，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，故D正确．
故选：D．
如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．6C．D．5
【解答】解：如图，连接，
∵ 矩形，，，
∴，，，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____．
【解答】解：在矩形中，，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：4．
在矩形纸片ABCD中，，，将矩形纸片折叠，使点C落在AD上的点M处，折痕为PE，此时，则MP的长为______．
【解答】解：根据折叠的性质和矩形性质可得：
，，，
，
故答案为：5．
如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__．
【解答】解：如图，连接，
，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
，
，，，
，
，
；
故答案为：．
利用矩形性质求面积
一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加，它就变成正方形，则矩形面积是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设矩形的宽为，长为，
由题意得：，
解得，
∴矩形的宽为，长为，
∴这个矩形面积为．
故选：C．
如图，矩形中，，，点为直线的一点，连，平移至，连接、，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：已知平移至，则，
四边形是平行四边形，则
故选：B．
如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在△EBO与△FDO中，
∵，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积=，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的一半，
∴ ．
故选：C．
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积＝×矩形的面积，
∵，，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积＝，
故选：C．
如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作于点E，连接，若，，则矩形的面积为______________．
【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
如图，在矩形中，E是的中点，，则矩形的面积为_______.
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴矩形面积为；
故答案为：．
利用矩形性质求角
如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若平分交于点E，且，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：四边形是矩形，
∴，，，，，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵，
．
故选C．
如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【解答】解：如图所示，取中点O，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．
【解答】∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
在中，，
．
．
故答案为：．
矩形与折叠问题
折叠是数学上常见构造新图形的重要方法．如图，长方形中，点E在边上，将长方形沿图中标示的折叠，点A恰好落在边的点G处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】
．
故选:B．
如图，把一个长方形的纸沿对角线折叠，的周长为12，则长方形的周长是（ ）
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：∵矩形，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴矩形的周长．
故选：B．
如图，长方形纸片，P为边的中点，将纸片沿折叠，使点A落在E处，点D落在F处，若，则大小为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵纸片沿折叠，使点A落在E处，点D落在F处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
如图，将一张长方形纸条沿折叠，折痕为，点落到点的位置；再将这张纸条沿折叠，使点落在直线上，折痕为，那么_________度．
【解答】解：如图所示，
根据题意得，，，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
如图，在长方形中，，将沿翻折，使得点落在边上处，则折痕的长是______．
【解答】解：将沿翻折，使得点落在边上处，
∴，
∴，
∵在长方形中，，
∴，
∴，
设，
根据勾股定理可得，
，
，
解得，
∴，
则，
故答案为：．
如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．
【解答】解：四边形是长方形，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
；
故答案为：．
在矩形纸片ABCD中，，，将矩形纸片折叠，使点C落在AD上的点M处，折痕为PE，此时，则MP的长为______．
【解答】解：根据折叠的性质和矩形性质可得：
，，，
，
故答案为：5．
矩形纸片的边长，．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为____________．
【解答】∵是矩形，
∴，
设，则，
在中，
∴，即，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
斜边中线等于斜边一半
如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∵，，
∴，
故选B．
如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，为的中点；
∴
∴，；
在和中
∴
故选：D．
如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．3D．4.5
【解答】解：∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为______．
【解答】解：∵，
∴，
∵是的中线，，
∴，，
∵，E是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是______.
【解答】解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，
∴是的角平分线，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵F为的中点，，
∴，
∴，
故答案为；
如图，等腰直角三角形中，，O是的中点，，若，则的长为___________．
【解答】解：等腰直角三角形中，，，
∴，
∴
∵O是的中点，，
∴
故答案为：1
如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的有______．（填写正确结论的序号）
【解答】①平分
又
∴①正确.
②M为的中点
又
∴M是中点
在Rt中是斜边的中线
∴②正确.
③
中
在和
（ASA）
∴③正确.
④平分,但

∴④不正确.
综上，正确的有①②③
故答案为：①②③
如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．若，，，则的长为______．
【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∵E是的中点，且，
∴，
故答案为：．
已知，如图，四边形中，，，，点是的中点，连接，若，，则的值为 __．
【解答】解：延长交于点，连接，如图，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
而，
垂直平分，
，，
点为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
，
在中，．
故答案为：80．
添加一个添加使四边形成为矩形
如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A．B．C．D．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB
∴四边形ABCD是矩形
故选A
如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，添加的条件不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，
依题意，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
A. 添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意；
B. 添加，可得四边形为菱形，符合题意；
C. 添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意；
D. 添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意；
故选：B．
如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项A符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，，
，，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
在平行四边形ABCD中，若增加一个条件可使四边形ABCD成为矩形，增加的条件是（ ）
A．AD＝CDB．AC＝2ABC．AC⊥BDD．∠A+∠C＝180°
【解答】解：增加一个条件可使四边形ABCD成为矩形，增加的条件是∠A+∠C＝180°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
矩形的证明
如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形 的面积为 .
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形
，
又
即
且
∴四边形是平行四边形
又∵
∴平行四边形是平行四边形.
（2）解：
在中，
又∵四边形是矩形
，平分，
又
平行四边形的面积为
故答案为.
如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．
如图，在中，，点D、E分别是线段的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求证：四边形为矩形．
【解答】（1）∵，
∴，
∵E是线段的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，在对角线上，且，，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：在平行四边形中，对角线、相交于点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，即，
四边形是矩形．
如图，点F、C在上，已知 ，．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接交于点O，连接，若．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，∴四边形是矩形．
菱形
利用菱形性质求长度
已知菱形的周长等于，两对角线的比为，则对角线的长分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：如下图所示，菱形的周长为,则菱形的边长为,
菱形的对角线互相垂直，所以为直角三角形，
设菱形的对角线长为、,则，
在中，
解得， ,
故对角线长为，．
故选：A．
如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴,，
在中，,
∵，
∴
在中，
故选：B．
如图，菱形的对角线交于点O，E为边的中点，若菱形的周长为24，则的长是（ ）
A．1B．20C．3D．4
【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴，，
∴，
∵E为边中点，
∴．
故选：C．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是，则顶点B、C的坐标是（ ）
A． ，B． ，
C． ，D． ，
【解答】解：过点A作于D，
∵A的坐标是，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，轴，
∴，，
故选A．
如图，菱形的边长为2，边在轴上，，对角线、相交于点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过作轴于，如图所示：
菱形的边长为2，边在轴上，，
，，
，
菱形的对角线、相交于点，
点的坐标是，即，
故选：B．
菱形的两条对角线分别为和，则菱形的边长是________，面积是__________．
【解答】解：如图，菱形的两条对角线分别为12和16，
，，
又在菱形中，，
，
菱形的面积．
故答案为：10，96．
如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为___________．
【解答】解：∵在菱形中，对角线，的长分别为6，8，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，即：，
∴；
故答案为：．
已知菱形的对角线长分别为6和8，则菱形的面积为______菱形的高是______．
【解答】解：设菱形的高为，如图所示，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴是直角三角形，
∴，
∴菱形的面积，
即菱形的面积为：，
∴菱形的高．
故答案为：24，．
如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，，垂足为点，则______．
【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
利用菱形性质求面积
如图，已知菱形的周长为，两条对角线、的和为8，则菱形的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【解答】解：菱形的周长为，可得，
由菱形的性质可得，，，，即，
则，即，
由题意可得：，即
则
可得，解得
，
故选：A
菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为（ ）cm2．
A．10B．14C．24D．34
【解答】解：根据题意得：菱形的面积为： cm2，故选：C．
如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________．
【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
∴．
故答案为：96．
在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是______．
【解答】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：，
故答案为：．
如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______．
【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，∵，
∴，∴，
∴菱形的面积，故答案为：48．
利用菱形性质求角度
如图，在菱形中，，M、N分别是边的中点，于点P．则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【解答】解：如图所示，延长交的延长线于点G，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
∵M、N分别是边的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴N为中点．
∴，
∴，
∴ ，即，
故选A．
如图，菱形中，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
故选：B
如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（ ）
A．15°B．30°C．40°D．50°
【解答】如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴
∵垂直平分，，
∴
∵，
∴．
故选：B．
如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据菱形的性质可得，，，
∴
又∵，
∴
∴，即为的中点
∴，
∴
故选C
如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则的度数为________．
【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为______．
【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
已知，在菱形中，，对角线和相交于点O，在上取点P，连接，若，则的度数为______．
【解答】解：∵在菱形中，，对角线和相交于点O，
∴互相垂直平分，
∵，
∴，
当点如下图点所在位置时：
∵，
∴，
∴；
当点如下图点所在位置时：
∵，
∴，
∴；
综上：的度数为或，
故答案为：或．
添加一个添加成为菱形
如图，在中，对角线，相交于点O，若添加一个条件，使得一定为菱形，该条件是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A. ，可以判断平行四边形是矩形，不能判断是菱形，故该选项错误；
B. ，可以判断平行四边形是矩形，不能判断是菱形，故该选项错误；
C. ，可以判断平行四边形是菱形；
D. ，只能推出，无法判定是菱形．
故选C．
如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由：
∵点E，F，G，H分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，，
∴四边形为菱形．
故选：C.
已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件____，使四边形为菱形．
【解答】∵与关于公共顶点O成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
当时，四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则应选择______（填序号）．
【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；故①符合题意；
②不能证明四边形为菱形；故②不符合题意；
③不能证明四边形为菱形；故③不符合题意；
故答案为：①．
菱形的证明
如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5
【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
∴，，平分；
∴①②③④正确；
若，；
∴⑤正确；
∴正确的有5个．
故选：D
下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【解答】解：A．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误．
故选：C．
如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
【解答】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求证：四边形为矩形．
【解答】（1）证明：，
，
是线段的中点，
，
，
；
，
是线段的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
（2）由（1）可得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形为矩形．
如图，在中，，为边上的中线，过点D作于E，过点C作的平行线与的延长线交于点F，连接，求证：四边形为菱形．
【解答】∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
正方形
根据正方形性质求长度
四边形 是正方形，E为上一点，连接，过B作于E，且，则正方形的周长为（ ）
A．B．C．24D．6
【解答】∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴正方形的周长为．
故选C．
如图，在正方形中，点E是对角线上一点，作于点F，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形关于对称，
∴，
故选D．
如图，边长为5的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、．已知平分，，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：过A作，
四边形是正方形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
在和中，
,
在中，
解得：，
故选D．
若正方形的周长为16，则其对角线长为______．
【解答】解：正方形周长为16
边长为4
对角线
故答案为
根据正方形性质求面积
四边形 是正方形，E为上一点，连接，过B作于E，且，则正方形的周长为（ ）
A．B．C．24D．6
【解答】∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴正方形的周长为．
故选C．
如图，在正方形中，点E是对角线上一点，作于点F，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形关于对称，
∴，
故选D．
如图，边长为5的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、．已知平分，，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：过A作，
四边形是正方形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
在和中，
,
在中，
解得：，
故选D．
如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D的面积为（ ）
A．1B．C．2D．6
【解答】解：设正方形D的面积为，
∵长方形E的长是宽的2倍，
∴长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍，
∵正方形A、B、C、D的面积依次为5、23、8、x，
∴根据图形得：，
解得：，
∴正方形D的面积为1，
故选：A．
如图，正方形的对角线相交于点O，（两直角边长均大于的长度）绕点O旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（ ）
A．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，然后又由小变大
【解答】解：正方形中，，，，，
，
，
在与中，，
，
，
，
则重叠部分的面积始终不变，
故选：C．
若正方形的周长为16，则其对角线长为______．
【解答】解：正方形周长为16
边长为4
对角线
故答案为
如图，中，，以三边为边长的三个正方形面积分别为，，．若的面积为7，，则的值等于______．
【解答】解：根据题意，，，
∴
在中，
根据勾股定理，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
故答案为：．
如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
【解答】解：∵两个小正方形面积为和，
∴大正方形的边长，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
根据正方形性质求角度
如图，P为线段上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
如图所示，以正方形中边为一边向外作等边，则__．
【解答】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
如图，在正方形中，点为上一点，与交于点．若，则等于______________度．
【解答】四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：63．
如图，正方形中，，，则_________°．
【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：50．
如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，则___________°．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴．
故答案为：45
如图，把两个正方形和拼成如图所示的图案，点，，在同一直线上，连接，．求的度数．
【解答】解：∵四边形和都是正方形，
∴，，
又∵、分别是正方形和的对角线，
∴，，
∵点，，在同一直线上，
∴．
正方形的折叠问题
如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（ ）
A．B．C．D．5
【解答】解：由图形折叠可得，
∵正方形的边长为5，，
∴，
在中，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（ ）
A．3B．C．1D．2
【解答】解：设，则，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
即．
故选：B
如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则________．
【解答】解∶如图所示，连接，
在中，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
由折叠可得，，
∴，
在和中，
，即，
解得，
∴．
故答案为∶．
如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若：：，则线段的长是______．
【解答】设，则，
：：，，
，
在中，，
即，
解得：，
即．
故答案为：．
如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，点G在CD上，连接AG．将和分别沿直线AE和EG折叠，点B和点C同时落在点AG上的点F处，则AG的长是______．
【解答】解：由折叠性质知，AF= AB= 4，CG = FG，∠AFE=∠B=∠C=∠EFG=90°，
∴ A、F、G三点共线，
设CG=FG=x，则DG=4-x，AG = x+4，
∵∠D= 90°，
∴AD2+ DG2= AG2，
∴42+(4-x)2=(x +4)2，
解得x=1，
∴AG = x+4= 5，
故答案为∶5．
如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，将沿折叠至的位置，延长交于，则＝___________．
【解答】∵四边形是正方形，△ADE沿AE折叠至△AFE的位置
∴，
又∵
∴，
连接
∴
∴
∴
∴
∴
∵在直角三角形
∴
∴
解得：
故答案为：3．
如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若，则CF的长为__________cm．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，，
∴
设BF=x，则FG=x，CF=2-x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE=，
根据折叠的性质可知AG=AB=2，
所以．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得，
所以
解得．
则．
故答案为：
如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．
【解答】解：∵四边形是正方形，正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
正方形的证明
下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是矩形
C．邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【解答】解：对于A，一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是梯形，故A选项错误，不符合题意；
对于B，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误，不符合题意；
对于C，有一组邻边相等的矩形是正方形，故C选项错误，不符合题意；
对于D，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项正确，符合题意；
故选D．
如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求证：四边形是正方形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）证明：由（1）得：是直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形；
【解答】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
中点四边形
下列结论中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．正方形的一条对角线的长为，则此正方形的面积是
D．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足
【解答】解：A．对角线互相垂直的四边形是菱形，故本选项的结论正确，不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的结论正确，不符合题意；
C．正方形的一条对角线之长为4，则其边长为，则此正方形的面积是8，故本选项的结论正确，不符合题意；
D．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足＝，故本选项的结论不正确，符合题意；
故选：D．
下列命题是真命题的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边中点所组成的四边形是菱形
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的三条高交于一点
D．角平分线上的点到该角两边的距离相等
【解答】A. 顺次连接平行四边形四边中点所组成的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不合题意
B. 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，原命题是假命题，不合题意
C. 三角形的三条高所在的直线交于一点，原命题是假命题，不合题意
D. 角平分线上的点到该角两边的距离相等，是真命题，符合题意
故选：D．
下列说法中，正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是矩形
B．正方形的对角线互相垂直平分且相等
C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D．菱形的对角线相等
【解答】解：A． 顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，原说法错误，不符合题意；
B．正方形的对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意；
C．矩形是轴对称图形且有2条对称轴，原说法错误，不符合题意；
D．菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意．故选：B．
如图，四边形中，E，F、G、H分别是边，、、的中点，请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是_____________．
【解答】解：如图，
∵E，F分别是边，的中点，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
同理可得：，
要使四边形是矩形，则需，即；
故答案为：．