第19章 一次函数——2022-2023学年初中数学人教版八年级下册期中复习讲与练学案（原卷版+解析版）

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第19章 一次函数（期中精讲）
目录
19.1 函数-知识与方法 3
知识点① 常量与变量 3
知识点② 函数 3
知识点③ 函数自变量的取值范围 4
知识点④ 函数值 4
知识点⑤ 函数的解析式 4
知识点⑥ 函数的图象 4
知识点⑦ 函数的表示方法 4
方法① 函数的识别方法 5
方法② 确定自变量取值范围的方法 5
方法③ 利用函数图象获取信息的方法 5
方法④ 利用函数图象正确描述实际问题的方法 5
方法⑤ 分段函数的应用方法 6
19.1 函数-考点分类汇编 6
【考点1】 变量与函数 6
【命题点（一）】 函数的概念 6
【命题点（二）】 函数解析式 6
【命题点（三）】 函数自变量取值范围 6
【命题点（四）】 函数值 6
【考点2】 函数图像 6
【命题点（一）】 函数图像的识别 6
【命题点（二）】 从函数图像中获取信息 6
【命题点（三）】 动点问题的函数图像 7
19.2 一次函数-知识与方法 7
知识点① 正比例函数与一次函数 7
知识点② 待定系数法 8
知识点③ 正比例函数的图象特征与性质 8
知识点④ 一次函数的图象特征与性质 8
知识点⑤ k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系 8
知识点⑥ 一次函数与一元一次方程 8
知识点⑦ 一次函数与二元一次方程（组） 9
知识点⑧ 一次函数与一元一次不等式 9
知识点⑨ 利用一次函数解决实际问题的步骤 9
知识点⑩ 利用一次函数解决实际问题的常见类型 9
方法① 根据一次函数的概念求字母常数的值的方法 10
方法② 解成正比例关系问题的方法 10
方法③ 函数性质的应用 11
方法④ 根据一次函数图象的位置及增减性判断k,b的值（范围） 11
方法⑤ 由k,b的值（范围）确定直线的位置及函数增减性的方法 11
方法⑥ 一次函数图象平移规律的应用方法 11
方法⑦ 计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法 11
方法⑧ 利用一次函数求解方程组或不等式的方法 11
方法⑨ 一次函数模型的应用方法 12
方法⑩ 选取合适的一次函数解决方案问题 12
方法⑪ 一次函数图象的交点坐标的实际应用方法 12
方法⑫ 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 12
方法⑬ 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 12
19.2 一次函数-考点分类汇编 13
【考点1】 正比例函数 13
【命题点（一）】 正比例函数的定义 13
【命题点（二）】 正比例函数的图像 13
【命题点（三）】 正比例函数的性质 13
【考点2】 一次函数 13
【命题点（一）】 识别一次函数 13
【命题点（二）】 判断一次函数图像 13
【命题点（三）】 一次函数的平移 13
【命题点（四）】 根据一次函数性质求参数 14
【命题点（五）】 根据一次函数性质比较大小 14
【命题点（六）】 求一次函数的解析式 14
【考点3】 一次函数与方程、不等式 14
【命题点（一）】 根据图像解一元一次方程 14
【命题点（二）】 根据图像解二元一次方程 14
【命题点（三）】 根据图像解不等式 14
【命题点（四）】 求直线围成的三角形面积 14
【考点4】 一次函数的应用 14
【命题点（一）】 方案问题 14
【命题点（二）】 行程问题 14

















19.1 函数-知识与方法

知识点①　 常量与变量★★☆
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
知识点②　 函数★★☆
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
知识点③　 函数自变量的取值范围★★☆
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点④　 函数值★★☆
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
知识点⑤　 函数的解析式★★☆
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点⑥　 函数的图象★★★
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点⑦　 函数的表示方法★★☆
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．






方法①　 函数的识别方法★☆☆
对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数值，但决不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值
方法②　 确定自变量取值范围的方法★★★
整式型：等式右边是整式：全体实数
分式型：等式右边的自变量在分母的位置上：分母不为0
开平方型：等式右边是开平方的式子：被开方式大于或等于0
方法③　 利用函数图象获取信息的方法★★☆
根据图象读取信息时，要把握以下三个方面：
1)横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2)关于图象上的某个点，可以向横、纵轴作垂线来求得该点坐标；
3)在实际问题中，要注意图象与横、纵轴交点的坐标代表的具体含义
方法④　 利用函数图象正确描述实际问题的方法★★☆
对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、 纵坐标的单位，图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义。
方法⑤　 分段函数的应用方法★★☆
自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数.解决分段函数的有关问题的关键是弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题。



19.1 函数-考点分类汇编

【考点1】 变量与函数
【命题点（一）】 函数的概念
【例题精析1】 下列图形中，表示是的函数的是（   ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【例题精析2】 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ）
A． B． C．D．
【解答】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【例题精析3】 一本练习本每本元，买x本共付y元，则和y分别是（　　）
A．常量，常量 B．常量，变量 C．变量，变量 D．变量，常量
【解答】解：根据常量和变量的概念可判断出是常量，y是变量．
故选：B．
【例题精析4】 下列关系式中，y不是x的函数的是（    ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，y是x的函数，故A不符合题意；
B、，y是x的函数，故B不符合题意；
C、，y是x的函数，故C不符合题意；
D、，当时，，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【命题点（二）】 函数解析式
【例题精析5】 某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为___________．
【解答】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得：
，
即y关于x的函数解析式为．
故答案为：
【例题精析6】 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/
32
50
68
86
104
122

根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是___________．
【解答】解：根据题意得：当摄氏温度值为时，华氏温度值为，且摄氏温度值每增加，华氏温度值增加，
设华氏温度值为y，摄氏温度值为x，则
华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为，
当时，，
解得：，
即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是．
故答案为：
【例题精析7】 如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形的边长为，则矩形的面积与的关系式为___________．

【解答】解：由题意，得：，
∴，
即：；
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【命题点（三）】 函数自变量取值范围
【例题精析8】 函数中，自变量x的取值范围是（    ）
A． B．
C．且 D．且
【解答】根据题意得：
解得：且
故选：D．
【例题精析9】 在关系式中，当自变量时，因变量y的值为（　　）
A． B．8 C． D．22
【解答】解：把代入中，
得：．
故选B．
【例题精析10】 函数 中，自变量x的取值范围是_____．
【解答】解：由题意得，，
则或，
解得，或，
故答案为：或．
【例题精析11】 函数中，自变量x的取值范围是______．
【解答】解：由题意得，，
解得，且
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例题精析12】 函数自变量的取值范围为________．
【解答】解：由题意得：
，且，
解得：且，
故答案为：且．

【命题点（四）】 函数值
【例题精析13】 如图所示，表示了自变量x与因变量y的关系，当输入x的值是时，输出y的值是（    ）

A．2 B． C．4 D．
【解答】解：当时，；
故选C．
【例题精析14】 一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间（秒）与滑下的路程（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程为_________米．
【解答】解：当时，，
即滑下的路程为米．
故答案为：.
【例题精析15】 根据下图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的结果为_____．

【解答】解：∵在之间，
∴将代入函数得：．故答案为：0.5．
【例题精析16】 已知函数，那么______．
【解答】解：由题意，，故答案为：．

【考点2】 函数图像
【命题点（一）】 函数图像的识别
【例题精析17】 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【解答】解：先大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，大烧杯的液面高度y保持不变，所以B选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，所以A选择项不符合题意；这时增加的速度较先前的慢，所以C选择项不符合题意，D项符合题意．
故选：D．
【例题精析18】 如图所示的是一台自动测温记录仪的图象，它反映了重庆秋季某天一段时间的气温随时间t变化而变化的关系，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（    ）

A．该段时间内最高气温为 B．从6时至20时，气温随着时间的推移而上升
C．从6时至15时，气温随着时间的推移而上升 D．该段时间内6时达到最低气温
【解答】解：A、由图可知，该段时间内最高气温为，故A正确，不符合题意；
B、从6时至20时，气温随着时间的推移先上升再下降，故B错误，符合题意；
C、从6时至15时，气温随着时间的推移而上升，故C正确，不符合题意；
D、该段时间内6时达到最低气温，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【例题精析19】 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的行驶路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一条边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的行驶路程随行驶时间的增加而增加，故①不符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积不是长的一次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故③符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是③．
故选：B．
【例题精析20】 晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
【解答】解：彤彤和妈妈最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项；
彤彤和妈妈在公园中央的休息区聊了会儿天，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项；
彤彤和妈妈散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项，
故选C．
【命题点（二）】 从函数图像中获取信息
【例题精析21】 如图，是函数的图像，通过观察图像得出了如下结论：

（1）当时，随的增大而增大；
（2）该函数图像与轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是，最小值是；
（4）当时，随的增大而增大．
以上结论中正确的有（    ）个
A． B． C． D．
【解答】解：（1）当时，随的增大而减小，故（1）错误；
（2）该函数图像与轴有三个交点，分别是，故（2）正确；
（3）函数的取值范围是，当时，；当时，，该函数的最大值是，最小值是，故（3）正确；
（4）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故（4）错误．
综上所述，结论正确的有（2），（3），
故选：．
【例题精析22】 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（    ）

A．清晨5时体温最低
B．17时，小明体温是
C．从5时至24时，小明体温一直是升高的
D．从0时至5时，小明体温一直是下降的
【解答】解：由函数图象可知，图中最低部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；则清晨5时体温最低，下午5时体温最高；最高温度为，最低温度为；从5时到17时，小明的体温一直是升高的趋势，而17时到24时的体温是下降的趋势，从0时至5时的体温是下降的趋势．
∴四个选项中只有选项C说法错误，
故选C．
【例题精析23】 一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系．

(1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________；
(2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________；
(3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________．
【解答】（1），
．
故答案为：60，210；
（2），
．
故答案为：100，84；
（3），
故答案为：3．

【命题点（三）】 动点问题的函数图像
【例题精析24】 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．
【解答】解：如图，连接交于点，连接，连接交于点．

四边形是正方形，
是的中点，
点是的中点，
是的重心，
，
，
、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，
的值最小就是的长，
，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
负值已舍，
即正方形的边长为．
故选：C．
【例题精析25】 如图1，在矩形中，点E在边上，连接，点P从点A出发，沿折线A→E→C以的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图像，则a的值为（　　）

A．40 B．10 C．24 D．20
【解答】解：设，根据题意，，结合函数图像，得到
，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
解得（舍去），
故选：B．
【例题精析26】 如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：当时，点到达点处，即，

如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
当时，点到达点处，
，
，
四边形的面积：，
故选：D．
【例题精析27】 如图1，在四边形中，，.一动点从点出发，以的速度沿的方向不停移动，直到点到达点后才停止，已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的关系图象如图2所示，则点从运动开始到停止一共用去的时间为__________.（结果保留根号）

【解答】解：由图②可知，在2到4秒时，的面积不发生变化，
∴在上运动的时间是2秒，在上运动的时间是．
∵动点的运动速度是，
∴，．
如图，过点 作于点，过点作于点，则四边形是长方形，

∴，，
∵在2到4秒时，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴在上运动的时间是秒，
∴点从开始移动到停止移动一共用了．
故答案为：．
【例题精析28】 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量表示点运动的路程，变量表示的面积，图2表示变量随的变化情况，则当时，点所在的边是________．

【解答】解：∵时，即点R从C到达点D时，的面积开始不变，
∴，
同理可得：，
∵四边形为长方形，
∴，，
当点R在上运动时，的面积不变，且面积最大，面积为：
，
当时，，
∴点R在或边上．
故答案为：或．







19.2 一次函数-知识与方法

知识点①　 正比例函数与一次函数★☆☆
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点②　 待定系数法★★★
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
知识点③　 正比例函数的图象特征与性质★★★
正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
知识点④　 一次函数的图象特征与性质★★★
一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点⑤　 k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系★★☆
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点⑥　 一次函数与一元一次方程★★☆
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数），当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点⑦　 一次函数与二元一次方程（组）★★☆
一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
知识点⑧　 一次函数与一元一次不等式★★☆
一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识点⑨　 利用一次函数解决实际问题的步骤★★☆
审：仔细审题，理解题意
找：找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系
列：建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围
解：根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程
检：检验结果，得出符合实际的结论
知识点⑩　 利用一次函数解决实际问题的常见类型★★★
1.一次函数模型的应用：根据题中所给信息明确一次函数模型，利用一次函数解决实际问题
2.选取合适的一次函数解决方案问题：题中通常涉及两个一次函数或分段函数，先根据题意求出两个函数关系式然后分情况讨论，即，，进而分别求解.
3.一次函数图象的交点坐标的实际应用：题目通常先给出函数图象，通过对实际问题的理解，围绕图象交点获取信息，进而解决实际问题。
4.利用一次函数最值解决最优化问题：题中通常涉及利润最大或费用最少问题，在自变量的取值范围内，根据一次函数图象的增减性确定函数的最大（小）值









方法①　 根据一次函数的概念求字母常数的值的方法★☆☆
在利用一次函数的概念求函数表达式中的字母常数的值时，一般方法是根据一次函数　的一般形式得到一个关于字母常数的关系式，解之即可求得字母常数的值。
方法②　 解成正比例关系问题的方法★☆☆
两个变量y与x成正比例关系，则应满足y=kx(k≠0)的形式,这里的y与x可以表示任意整式。
方法③　 函数性质的应用★★☆
正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)的性质主要是指函数的增减性,即y随x的变化情况，它只和k的符号有关，与b的符号无关当k>0时，y随x的增大而增大；当k0;左高右低，形如“\”，k0;图象如果过第二、四象限，那么k0;x增大y反而减小，则k0时,y随x的增大而增大，此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、三象限；若b=0,则直线y=kx+b经过原点及第一、三象限；若b0)个单位长度，得到直线y=kx+b-n.简记为：上加下减(只改变b).
2.左、右平移：直线y=kx+b(k≠0)向左平移m(m>0)个单位长度，得到直线y=k(x+m)+b;直线y=kx+b(k≠0)向右平移m(m>0)个单位长度，得到直线y=k(x-m)+b.简记为：左加右减（只改变x).
方法⑦　 计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法★★☆
1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积。
2.在求两条直线与一个坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先确定两条直线与这个坐标轴的交点坐标（即确定三角形的底），然后求两条直线的交点坐标，最后利用三角形的面积公式得出结果。
方法⑧　 利用一次函数求解方程组或不等式的方法★★☆
1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
2.关于x的一元一次不等式kx+b>0(