数学（江苏常州B卷）——2022-2023学年数学八年级下册期中综合素质测评卷（含解析）

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2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷
数学·全解全析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．观察如图所示的图形，下列对该图形描述正确的是(   )

A．它是轴对称图形，不是中心对称图形 B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它是轴对称图形，又是中心对称图形 D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可知，这个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列说法正确的是（    ）
A．方差越大，数据波动越小
B．了解我市的空气质量情况适合采用全面调查
C．抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
D．用长为的三条线段围成一个三角形是不可能事件
【答案】D
【分析】根据方差的意义、全面调查、随机事件及三角形的三边关系逐一判断即可．
【详解】解：A．方差越小，数据波动越小，此选项说法错误；
B．了解我市的空气质量情况适合采用抽样调查，此选项说法错误；
C．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，此选项说法错误；
D．∵，∴用长为 的三条线段围成一个三角形是不可能事件，此选项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查方差的意义，全面调查、随机事件及三角形的三边关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
3．下列说法不正确的是（    ）
A．“汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯”是随机事件
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查适合采用抽样调查
C．从一副扑克牌中随机抽取一张，它是红桃的概率是
D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
【答案】C
【分析】根据随机事件及概率、方差可直接排除选项．
【详解】解：A、“汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯”是随机事件，正确，故不符合题意；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查适合采用抽样调查，正确，故不符合题意；
C、从一副扑克牌中随机抽取一张，它是红桃的概率是，错误，故符合题意；
D、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，正确，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查随机事件及概率、方差，正确理解随机事件及概率、方差的概念是解题的关键．
4．对于分式，变形正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质变形，即可判断．
【详解】∵=-
故选D．
【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算法则．
5．下列分式中是最简分式的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断．
【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意；
B、，故不是最简分式，不符合题意；
C、，故是最简分式，符合题意；
D、原式=，故不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义．
6．如图，点是直线外一点，在上取两点，，分别以，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，则判定四边形是平行四边形的根据是（    ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】根据作图方式可知：，即可得出结论．
【详解】解：由作图方式可知：，
∴判定四边形是平行四边形的根据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是解题的关键．
7．下列命题正确的是（    ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
【答案】D
【分析】根据选项命题看是否能找一个反例出来，若有反例则是假命题；
【详解】解：A选项：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，故本选项为假命题．
B选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故本选项为假命题．
C选项：两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题．

D选项：两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．

已知：四边形ABCD，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形为平行四边形，又AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定；判断一个命题为假命题，只需找出一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明；掌握正方形的特征是解题的关键．
8．如图，若AB//CD，AC交BD于点O，则下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD∥BC B．OA＝OC C．AD＝AB D．AB＝CD
【答案】C
【分析】分别利用平行线的性质和全等三角形的判定和性质，结合平行四边形的判定逐一判断即可；
【详解】解：A、∵AD///BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
B、∵AB//CD，∴，又OA＝OC，∴△ABO≌△CDO(AAS), ∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
C、由AB∥CD，AD＝AB，不能推出四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不合题意；
故选择：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
9．在函数中，自变量x的取值范围是___．
【答案】且
【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0．
故答案为：x≥-1且x≠0．
【点睛】考点：函数自变量的取值范围．
10．若分式的值为0，则____________．
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件可得4x-1=0，且x2+1≠0，求解即可.
【详解】解：由题意得：4x-1=0，且x2+1≠0，
解得：x=.
【点睛】此题主要考查了分式的值为零和无意义的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
11．分式和分式的最简公分母是 ___________．
【答案】
【分析】根据分式的性质求出最简公分母即可．
【详解】解：∵，，
∴他们的最简公分母为：．
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查分式的通分，熟练掌握分式最简分母的确定方法是解题关键．
12．一个圆形转盘的半径为，现将这个圆形转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转盘转动次，指针指向红色区域为次，指针指向红色区域的概率的估计值____．
【答案】##0.025
【分析】根据频率估计概率，通过计算指向红色区域的频率可估计指向红色区域的概率．
【详解】解：根据题意有：，
即可估计向红色区域的概率为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查频率估计概率问题，设某一事件A（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为，若以表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：．
13．如图，扇形（阴影部分）的圆心角等于周角的，则的度数是______．

【答案】45°##45度
【分析】用360°乘以，即可求解．
【详解】解：∵扇形（阴影部分）的圆心角等于周角的，
∴．
故答案为：45°
【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到的度数等于360°乘以是解题的关键．
14．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠BAD=60°，则对角线AC的长为_____．

【答案】8cm
【详解】试题分析：如图，连接BD与AC交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BD，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=8cm，∴AO=AD×sin∠ADB=8×=4，∴AC=2AO=8．
故答案为8cm

考点： 菱形的性质．
15．中国首例商用磁悬浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到地路程为，那么提速后从A地到地节约的时间为________________．
【答案】
【分析】直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
【详解】解∶由题意可得，

故答案为∶．
【点睛】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算，正确表示出行驶时间是解题关键．
16．如图，在平行四边形中，，点E为边上的一个动点，连接并延长至点F，使得，以为邻边构造平行四边形，连接﹐则的最小值为__________．

【答案】
【分析】作CH⊥AB于点H，根据勾股定理求出CH，根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似得出EG= ,当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，根据垂线段最短，即可得到EG的最小值即可．
【详解】解：作CH⊥AB于点H，

∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=6，
∴在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠HCB=90°-∠B=30°，
∴BH=，
∴CH=3，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DF=DE，
∴，  
∴，
∴，
∴GO=,
∴EG=EO+GO=EO+,
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∵AB∥CD，CH⊥AB，OE⊥CD
∴EO 最小= CH=3，
∴EG最小= ,
∴EG的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，三角形的相似、平行线间的距离，垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．如图，在中，，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则__________．

【答案】30°##30度
【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则∠BAD=∠ABC=50°，据此求解即可．
【详解】解：∵D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
又∵∠BAC=20°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确根据题意得到AD=BD，是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．

【答案】75°
【分析】延长AE交DC边于点F，先判定Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，则∠BAC＝∠ACB＝45°，再由∠AEB为△AEC的外角，可求得∠AEB的度数，即∠BDC的度数．
【详解】解：延长AE交DC边于点F，如图：

∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）
19．（1）因式分解：
（2）计算：
（3）解不等式组：
（4）解方程：
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先利用平方差公式分解因式，再合并同类项、提取公因式即可得；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的乘法即可得；
（3）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；
（4）先将方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式



；
（3），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集是；
（4），
方程两边同乘以去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解，
则分式方程的解为．
【点睛】本题考查了因式分解、分式的运算、解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握各运算法则、不等式组和方程的解法是解题关键．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：


，
当时，
原式＝．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区480户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
分组
频数
百分比
600≤x＜800
2
5%
800≤x＜1000
6
15%
1000≤x＜1200
a
45%
1200≤x＜1400
9
22.5%
1400≤x＜1600
b
c
1600≤x＜1800
2
d
合计
40
100%



根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）求a，b，c，d的值．
（2）补全频数分布直方图．
（3）请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于1000不足1600元）的大约有多少户？
【答案】（1）a=18，b=3，c=7.5％，d=5％；（2）见解析；（3）约360户
【分析】（1）根据频数分布表的总户数和对应组所占百分比即可求出a，b，c，d的值；
（2）由（1）求得的a、b可补全频数分布直方图；
由总人数×样本中中等收入所占的百分比即可解答．
【详解】（1）由频数分布表知：
a=40×45％=18，b=40-2-6-18-9-2=3，c=3÷40=7.5％，d=2÷40=5％，
即：a=18，b=3，c=7.5％，d=5％；
（2）补全频数分布直方图如图所示：

（3）480×=360（户），
答：该居民小区家庭属于中等收入的大约有360户．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答的关键是熟悉频数分布表和直方图的结构特点，能从中找出相关信息并解决问题．
22．某中学为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)在这次考察中一共调查了 　　名学生；“排球”部分所对应的圆心角为 　　度；
(2)补全条形统计图；
(3)若全校有3000名学生，试估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人？
【答案】(1)150；
(2)见解析
(3)420人

【分析】（1）根据其它的百分比和人数可求总数；利用扇形图所对的圆心角的度数百分比乘以360度即可求得；
（2）利用总数和百分比求出篮球的人数再补全条形图；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：在这次考察中一共调查了学生：（名），
“排球”部分所对应的圆心角为：，
故答案为：150；；
（2）解：篮球的人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）解：（名），
答：该校喜欢乒乓球的学生约有420人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A、B、C都在格点上，按要求完成下列画图．

（1）请在图①中找到格点D，使四边形ABCD只是中心对称图形，并画出这个四边形；
（2）请在图②中找到格点E，使以A、B、C、E为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，并画出这个四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）画一个平行四边形，则是中心对称图形，而不是轴对称图形；
（2）画一个矩形，则既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【详解】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示：

【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，作图−轴对称变换，轴对称图形和中心对称图形的判定，掌握常见图形的对称性是解题的关键．
24．已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．

(1)如图1，若．
①求BF的长；
②求四边形DEGF的面积．
(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)①；②
(2)

【分析】（1）①由“ASA”证明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的长；②利用等积法求出AG的长度，由勾股定理得出BG的长度，再由S四边形DEGF＝S△ABG，即可求出四边形DEGF的面积；
（2）先证明四边形四边形BHGF是平行四边形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．
（1）
解：①∵在正方形ABCD中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
在Rt△ABF中，，
∴；
②由①知，
∴＝，
∵，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形FBHM为平行四边形，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
25．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【答案】见解析．
【分析】证法一：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，由三线合一定理得到AD＝AB，∠BAC=∠DAC=30°，则∠BAD＝60°．即可证明△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，则，即；
证法二：如图所示，取AB的中点D，连接DC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有．
【详解】证明：已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
求证：．
证法一：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，
∵∠ACB=90°，BC=CD，
∴AD＝AB，∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BAD＝60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD，
∴，即．

证法二：如图所示，取AB的中点D，连接DC，有，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴．

证法三：如图所示，在AB上取一点D，使得BD=BC，连接CD，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，BC=CD
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∴BC=AD，
∴；

证法四：如图所示，作△ABC的外接圆圆D，连接CD，
∵∠ACB=90°，
∴AB为圆D的直径，
∴BD=DC，
∴∠BDC=2∠A=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC=BD=CD，
∴．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三线合一定理，直角三角形斜边上的中线，圆周角定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26．在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．

(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；
(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足．
①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若，请直接写出的值．
【答案】(1)证明过程见解析．
(2)①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，∠APD=30°，理由见解析．②BP=2DF，

【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF和△ADC全等，即可得出AC=BF．
（2）①因为∠C=60°在Rt△ABC中∠CAD=30°，∠PAQ=90°，由对称的性质可知∠PAD=∠QAC=30°，所以可以得出∠APD=60°；②过Q作QE⊥AD，交AD与点E,可证△APD≌△QAE，得出AE=PD，再证△APD≌△QAE，得出EF=DF，再通过等量代换即可．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵∠B=45°
∴△ABD是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BG⊥AC
∴∠BGC=90°
又∵∠C=60°
∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°
∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30°
∴∠DAC=∠FBD
在△BDF和△ADC中，

∴△BDF≌△ADC
∴AC=BF
（2）①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称
∵AQ⊥AP
∴∠QAP=90°
由(1)的证明知∠DAC=30°，根据对称的性质，得
∠PAD=∠QAC===30°
∵∠ADP=90°
∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60°
②BP=2DF
理由如下:

如图4所示,过Q作QE⊥AD，交AD与点E,那么
∠AEQ=∠FEQ=90°
∴∠AQE+∠QAE=90°
又∵∠PAD+∠QAE=90°
∴∠AQE=∠PAD
在△APD和△QAE中，
，
∴△APD≌△QAE
∴AE=PD；AD=QE
∴DE=BP
又∵AD=BD
∴BD=QE
在△QEF和△BDF中，
，
∴△QEF≌△BDF
∴EF=DF
∴BP=2DF
当点P在DB的延长线上时，如下图所示，

由上述证明过程可知PB=2DF，BD=AD
又已知
∴DF=AD
∴PB=2×BD=BD
∴=
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．