人教版 八年级下册数学 同步复习 第8讲 中位线与矩形的性质及判定 讲义

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学生/课程 年级8年级学科数学授课教师 日期 时段 核心内容 中位线与矩形的性质及判定 （第8讲） 课程标准1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.3. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 知识点01  三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.知识点02  矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点03  矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.知识点04  矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点05  直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.导学一：三角形的中位线重点1 利用三角形中位线定理求线段和角例1.  如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（       ）A．11 B．17 C．18 D．16变式1-1 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（　　）A．10° B．15° C．25° D．40°变式1-2 如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（　　　）A． B．5 C． D．10                     （例1图）                    （变式1-1 图）                   （变式1-2图 ）重点2 利用三角形中位线定理求面积例2.  如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别拉长到原来的两倍，得点D，E，F，已知△DEF的面积为42，则△ABC的面积为（       ）A．14 B．7 C．6 D．3变式2-1 如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　）A．25 B．.30 C．35 D．40 （例2图）       （变式2-1图）变式2-2 如图，的中位线，把沿折叠，使点落在边上的点处，若、两点之间的距离是，则的面积为______；重点3 利用三角形中位线定理进行证明例3.  如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．   变式3-1 如图，已知：在中，，延长BA到点D，使，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：．       变式3-2 如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．     导学二：矩形的性质重点1 利用矩形的性质求线段长度例1.  如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（       ）A． B． C． D．变式1-1 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（       ）A． B． C． D． （例1图）     （变式1-1图）变式1-2 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　） A．1 B． C．2 D．  重点2 利用矩形的性质求角度例2.  如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（       ）A． B． C． D．变式2-1 将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（       ）A．125° B．115° C．110° D．120°变式2-2 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝________°．                           （例2图）                     （变式2-1 图）                    （变式2-2图）重点3  利用矩形与折叠的性质进行计算例3.  如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（       ）A．     B．       C．        D．变式3-1 将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是(     )A．60° B．50° C．75° D．55°变式3-2如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（       ）A． B． C． D．变式3-3如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为(       )A．3     B．4          C．5    D．6                        （变式3-1图）                    （变式3-2图）                     （变式3-3）重点4 直角三角形斜边上的中线的性质的运用例4.  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．变式4-1 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点F是BC的中点，点D是AB的中点，连接AF和DF，若△DBF的周长是11，则AB＝_____．变式4-2 如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．                               （例4图）                （变式4-1图）                    （变式4-2）重点5 利用矩形的性质进行证明例5.  在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.（1）求证.（2）若,且,求.    变式5-1 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．  导学三：矩形的判定重点1 利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定例1.  如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．    变式1 已知：如图，在中，延长至点，使得，连接，交边于点．连接，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若，求证：四边形是矩形．        重点2 利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定例2.  如图，在中，，，垂足为，过点作，且，连接，交于点，连接．求证：四边形为矩形；
 变式2 如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．  重点3  利用有三个角是直角的四边形是矩形进行判定例3.  如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE求证：（1）△ABF≌△DCE；    （2）四边形ABCD是矩形． 变式3 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．      难点4 矩形的性质与判定的综合例4.  如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．     变式4 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.        1．下列选项中，矩形具有的性质是(　　)A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角2．能够判断一个四边形是矩形的条件是（       ）A．对角线相等     B．对角线垂直    C．对角线互相平分且相等    D．对角线垂直且相等3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（     ）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）A． B．6 C．4 D．5 （题3图）            （题4图）5．如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（       ）A．2.5 B．1.5 C．4 D．56．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）A．12              B．10             C．8                    D．67．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（       ）A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4                      （题5图）                       （题6图）                 （题7图）8．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE。求证：四边形BECD是矩形．9．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．      10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：（1）△ODE≌△FCE;          （2）四边形OCFD是矩形．