人教版 八年级下册数学 同步复习 第4讲 勾股定理概念及应用 讲义

这是一份人教版 八年级下册数学 同步复习 第4讲 勾股定理概念及应用 讲义，共12页。试卷主要包含了勾股定理，用勾股定理理解直角三角形，两点距离公式，利用勾股定理求线段长，勾股数，勾股树中的面积问题，勾股定理解决网格问题，勾股定理与折叠问题等内容，欢迎下载使用。
学生/课程 年级8年级学科数学授课教师 日期 时段 核心内容 勾股定理概念及应用1（第4讲） 课程标准1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 知识点01  勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，， .  ，，知识点02  勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.右图中：，，　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.右图中：，，化简可证　　　　　　方法三：右图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.　　　　　　 ，，化简得证；知识点03  勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为 的线段. 类型一、勾股定理例1.若直角三角形的三边长分别为6，8，m，则m的值为（       ）A．10 B．2 C．28 D．10或2变式1-1 若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（        ）A．3 B．6 C． D．变式1-2已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．   类型二、用勾股定理理解直角三角形 例2．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．变式2-1 在中，，若，则的长是________．变式2-2若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．类型三、两点距离公式 例3．在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为（    ）A．5 B．3 C．4 D．0变式3-1 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为(　　)A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(0，1) D．(﹣1，0)变式3-2点P（－3，4）到坐标原点的距离是（     ）A．3 B．4 C．－4 D．5类型四、利用勾股定理求线段长例4.已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________. 变式4-1如图，在和中，，点在上．若，，，则__________．变式4-2如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=，则BD的长为__________.（变式4-1图）                 （变式4-2图）   类型五、勾股数 例5．下列四组数中，是勾股数的是（    ）A．5，12，13 B．，， C．1，， D．7，24，26变式5-1下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5变式5-2下列各组数中，勾股数是（　　）A．32，42，52 B．1，， C．0.6，0.8，1 D．5，12，13类型六、勾股树中的面积问题 例6．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（    ）A．3 B．9 C．16 D．25变式6-1 小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式中的、、可以看成以、、为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（、、为底）、半圆，其中不满足这个关系的是（    ）A．  B．  C．    D．变式6-2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（　　）A．16 B．18 C．20 D．22类型七、勾股定理解决网格问题 例7．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（　　）A． B．2 C． D．变式7-1 在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°变式7-2如图，网格线的交点称为格点，任取个格点构成等腰三角形，则下列可以作为腰长的是（    ）A． B． C． D．类型八、勾股定理与折叠问题 例8．如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 变式8-1如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．（1）求△ADE的周长；（2）求DE的长．   变式8-2如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．    类型九、用勾股定理求最值问题 例9．如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计结头，细线最短长度为______．变式9-1如图，一只蚂蚁从正方体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，正方体棱长为3cm，则蚂蚁所走过的最短路径是______cm．【变式2】已知点，，点在轴上，且最短，则这个最短距离是 ___． 类型十、勾股定理的证明 例10．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．变式10-1如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．  1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（       ）A．13 B．8 C． D．2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是（   ）A． B． C． D．3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(　　)A．1 B． C．2 D．4．已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（    ）A．2 B．4 C．6 D．85．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（   ）A．3cm B．2cm C．4cm D．2.5cm 6．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（    ）A．2 B．3 C．4 D．57．已知点及点，P是x轴上一动点，连接，，则的最小值是（　　）A． B． C．5 D．4 8．有下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，．其中勾股数有（    ）A．组 B．组 C．组 D．组9．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（    ）A． B． C． D．10．观察图形，每个小正方形的边长均为1，估计阴影正方形的边长的值在哪两个整数之间（  ）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和511．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（  ）．A．              B．                C．                D．512．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（    ）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm213．如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（   ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m14．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？       15．已知，点A（﹣2，1）和点B（4，3）．（1）在坐标平面内描出点A和点B的位置．（2）连接AB并计算AB的长度．（3）若点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，求a﹣b的值．    16．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：（1）AB的长；（2）△CDF的面积．       17．如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求斜坡的长；（2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计）    18．如图所示，已知某学校点A到直线河流BD的距离为600米，且与该河流上一个取水站点D相距1000米，现要在河边新建一个取水站点C，使之与学校点A及取水站点D的距离相等，则学校点A与取水站点C的距离是多少米？