人教版八年级下册数学同步复习第1讲二次根式讲义

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这是一份人教版八年级下册数学同步复习第1讲二次根式讲义，共10页。试卷主要包含了二次根式，代数式等内容，欢迎下载使用。
学生/课程年级8年级学科数学授课教师日期时段核心内容二次根式的概念及性质（第1讲）课程标准1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．知识点01 二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。（4）在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。（5）形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。（2）公式法：根据公式列出代数式。（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。知识点02 二次根式的性质二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展（a≥0）的性质即双重非负性一个非负数的算术平方根是非负数。（1）二次根式的非负性应用较多，如：+=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，则x的取值范围是，解得x=a；（2）具有非负性的性质：①a2≥0；②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）；（3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0；（4）的最小值为0；例如：当a=1时，有最小值是2.（a≥0）的性质= a（a≥0）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1逆用公式：若a≥0，则a=（）2，如：2=（）2，=（）2逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)的性质或一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。（1）正用公式： =｜3-π｜=3-π ；（2）逆用公式：=3=3（3）化简形如的式子时，先转化为｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。注意：与的区别与联系：区别表示的意义不同表示非负数a的算术平方根的平方表示a2的算术平方根取值范围不同a≥0a为任意实数读法不同读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”读作“根号a2”或“a的平方的算术平方根”被开方数不同被开方数是a被开方数是a2运算顺序不同先开放后平方先平方后开方运算结果，运算依据不同（）2 =a，依据平方与开平方互为逆运算得到依据算术平方根的定义得到作用不同（）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方②结果都是非负数；③a≥0时，（）2= 考法01 二次根式的判断【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【即学即练】（1）下列各式中，不是二次根式的是（　　）A． B． C．2 D．（2）下列式子中，一定属于二次根式的是（）A． B． C． D．（3）下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．（4）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个考法02 二次根式有意义的条件【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．【典例3】式子中x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3【典例5】如果，那么的值是______．【即学即练】（1）若式子有意义，则实数m的取值范围是 A． B．且 C． D．且
考法03 二次根式非负性的逆用【典例6】如果，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（　　）A． B． C． D．【即学即练】（1）若，则x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 考法04 利用二次根式的非负性化简求值【典例8】计算：______．【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．【即学即练】（1）化简______．（2）若x＜2，化简＝_______________．（3）化简＝_______________．（4）已知a、b满足，则的值为______．（5）若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．（6）已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值【典例10】计算：______．【即学即练】化简的结果是（）A． B． C． D．1 【典例11】化简＝_______________．【即学即练】计算：＝__ _．＝__ _．【典例12】下列各式，哪个是代数式（　　）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0【即学即练】（1）下列各式，符合代数式书写规范的是（　　）A．（a﹣1）×5 B． C． D．m+n元（2）下列各式中，代数式的个数有（　　）﹣9， x+y，， S＝a2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例13】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________ 【即学即练】（1）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．（2）如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．（3）实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（）A． B． C． D．（4）实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（）A． B． C． D．（5）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：. （6）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．考法06 利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用【典例14】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.【即学即练】（1）设a，b，c为△ABC的三边，化简： . （2）如果一个三角形的三边长分别为 1，k，3，则化简：的结果是？考法07 逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式【典例15】若是整数，则正整数的最小值是______．【即学即练】若是正整数，则整数n的最小值为_____________.【典例15】在实数范围内因式分解2x2﹣3xy﹣y2，下列四个答案中正确的是（　　）A．（x﹣y）（x﹣y） B．（x+y）（x+y）C．2（x﹣y）（x﹣y） D．2（x+y）（x+y）【即学即练】（1）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　）A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1（2）下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．； B．； C．； D．．（3）在实数范围内分解因式：；．题组A 基础过关练1．在式子中，二次根式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．使有意义的x的取值范围是（　　）A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞33．计算的结果是A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．94．已知，则的值为（）A． B． C． D．5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b6．如果，那么（　　　）A． B． C． D．7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( 　)A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－58．在中，， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )A． B．C． D．2a9．化简的结果是（）A． B． C． D．1题组B 能力提升练1．化简得（）．A．2 B． C．－2 D．2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（　　）A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-123．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（）A． B． C． D． 4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．6．把的根号外因式移到根号内得____________．7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．8．-1的最小值是______．9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．10．在实数范围内因式分解：________．11.已知，，求：的平方根．