2022-2023学年青岛六三版数学五年级下册单元复习精讲精练：第七单元 长方体和正方体 （教师版+学生版）

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知识点01：长方体和正方体的表面积
1.长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
2.正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）．
知识点02：长方体和正方体的体积
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
知识点03：简单图形的折叠问题
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
考点01：长方体和正方体的表面积
【典例分析01】做一个微波炉的包装箱（如图），至少要用多少平方米的硬纸板？
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答。
【解答】解：（1×0.6+1×0.4+0.6×0.4）×2
＝（0.6+0.4+0.24）×2
＝1.24×2
＝2.48（平方米）
答：至少要用2.48平方米的硬纸板。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的计算方法。
【变式训练01】一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是3dm、4dm、5dm，那么正方体的棱长是多少分米？要做这样一个正方体无盖鱼缸，需要多少平方米的玻璃？
【变式训练02】求如图所示图形的表面积。
【变式训练03】一种无盖的长方体水箱，长2.5dm，宽2.5dm，高3.5dm，制作一个这样的水箱，至少需要白铁皮多少平方分米？
考点02：长方体和正方体的体积
【典例分析02】如图，将一个正方体的高增加3cm，它的表面积就增加了84cm2，原来正方体的体积是多少？
【分析】根据这个正方体的特点可知，高增加3厘米，得到的长方体表面积增加了4个以正方体的棱长为长，3厘米为宽的长方形的面的面积之和，即84平方厘米，由此即可求得原来正方体的棱长，再利用正方体的体积公式V＝a×a×a即可解答。
【解答】解：正方体的棱长是：
84÷4÷3＝7（厘米）
正方体的体积是：
7×7×7＝343（立方厘米）
答：原来正方体的体积是343立方厘米。
【点评】此题考查了利用正方体表面积公式和长方体的体积公式的灵活应用，这里根据立方体的拼组特点得出表面积增加的面的面积，从而求出正方体的棱长是解决本题的关键。
【变式训练01】计算如图图形的表面积和体积。（单位：厘米）
【变式训练02】计算如图图形的表面积和体积。
【变式训练03】把一个棱长为30cm的正方体铁块，熔铸成一个长45cm、高12cm的长方体，这个长方体铁块的宽是多少厘米？
考点02：简单图形的折叠问题
【典例分析03】如图是一张长方形纸片，它的四个角都是 直 角，四个角的和是 360 °，当将其一边向上折后（如图所示），量得∠1＝40°，你能算出∠2的度数吗？
【分析】根据垂直的意义判断长方形各角的度数，根据图示，由折叠可知，图中∠2和∠3是相等的，且∠2、∠3和∠1组成一个平角，依据平角的意义，用180°减去∠1的度数再除以2即可得到∠2的度数。
【解答】解：如图：
由题意可知，∠2＝∠3，∠2+∠3+∠1＝180°
所以∠2＝（180°﹣∠1）÷2
＝（180°﹣40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
答：长方形的纸，四个角都是直角，由此看出长方形的四个角的和（即内角和）是360°，∠2的度数是70°。
故答案为：直；360°。
【点评】本题考查了利用平角的定义解决问题，关键是理解折叠的意义，明确图中∠2和∠3是相等的关系。
【变式训练01】下图是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠2＝70°，那么∠1等于多少度。
【变式训练02】照图的样子，沿虚线把一张正方形纸折一折，每次折出的是几边形？在括号填一填。
【变式训练03】一张长方形的纸，如果对折1次，得到的1份占整张纸的；如果对折两次，其中的1份占整张纸的。
一．选择题（共8小题）
1．如图是用8个同样大小的小正方体拼成的，如果任意拿走1个小正方体，它的表面积与原来相比（ ）
A．增加了B．减小了C．不变
2．棱长为a的正方体，它的表面积是（ ）
A．6aB．a2C．6a2
3．如图，从一个较大的长方体木块中挖掉一个小正方体，现在它的表面积（ ）
A．比原来大B．比原来小C．与原来相等D．无法比较
4．求冰箱所占空间的大小就是求冰箱的（ ）
A．容积B．体积C．表面积
5．如两图形分别表示一个长方体的前面和右侧面，那么这个长方体的体积是（ ）
A．36立方厘米B．12立方厘米C．18立方厘米D．30立方厘米
6．佳佳用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积（ ）
A．变大B．变小C．不变
7．一个油箱装油10升，我们就说油箱的（ ）是10升。
A．体积B．容积C．重量
8．把周长48厘米的正方形上下对折，再左右对折（如图），得到的小正方形的周长是（ ）厘米。
A．24B．48C．12
二．填空题（共8小题）
9．将一张圆形纸对折 次后可以得到45°的角。
10．一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体表面积是 cm2．
11．容器所能 叫做容器的容积．
12．把一桶水倒入水盆中，水有溢出，这说明水盆的 比这个水桶小。
13．一个长方体的体积是72立方厘米，底面积是30平方厘米，它的高是 厘米；如果它的长是9厘米，那么它的横截面是 平方厘米。
14．一个长方体的高是6dm，体积是72dm3，这个长方体占地 dm2。
15．一个正方体木箱的表面积是96dm3，它的占地面积是 dm3。
16．手工课上。淘气在一块长方体（高1cm）橡皮上挖出一个棱长1cm的正方体（如图），表面积 （填“增加”或“减少”）了 cm2。
三．判断题（共6小题）
17．棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。
18．正方体的棱长扩大3倍，体积就扩大6倍。
19．体积相等的长方体，表面积一定相等． ．
20．把30L水装入容积是250ml的水瓶里，能装12瓶
21．相邻的长度单位、面积单位、体积单位、容积单位之间的进率都是1000．
22．把一根24分米长的绳子对折3次后，每段长8分米。
四．计算题（共1小题）
23．求出正方体的表面积和长方体的体积。
五．应用题（共5小题）
24．王叔叔买木板做一个棱长是6分米的正方体木箱，每平方分米木板4元，做这个木箱共需要多少钱？
25．明明家有一个长50厘米、宽30厘米、高30厘米的长方体鱼缸，里面装有高25厘米的水，明明往缸内放人两条鱼后，水溢出了500mL。这两条鱼的体积是多少？
26．一种长方体铁皮通风管长3m，管口是边长为2dm的正方形．做20根这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮？（接口忽略不计）
27．兰兰用一根彩带编蝴蝶，把这根彩带对折一次再对折一次，再沿折痕剪断，量得每段长5分米．这根彩带原来长多少米？
28．元宵节，奇思要制作一个底面是边长25cm的正方形，高是40cm的长方体灯笼，至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架？
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•偃师市期末）如图：一块长方体橡皮正好能分割成两个相等的小正方体。已知这块长方体橡皮表面积是60cm2，那么其中一个正方体的表面积是（ ）cm2。
A．24B．30C．33D．36
2．（2022秋•郏县期末）某产品说明书上标注包装尺寸为590×505×1400（mm），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想象一下它可能是（ ）
A．一台电视机B．一台冰箱C．一部手机
3．（2022春•上蔡县月考）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米．
A．44B．40C．32D．38
4．（2022•交口县）下面图形的体积不能用“底面积×高”计算的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021秋•临汾期中）一个水桶装25升水正好可以装满，水桶的（ ）是25升。
A．质量B．表面积C．体积D．容积
6．（2022秋•九江期末）把一张圆形的纸对折三次后，得到的角是（ ）度。
A．90B．45C．30
二．填空题（共6小题）
7．（2022秋•厦门期末）如图是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为 °。
8．（2014春•陆良县期末）容器所能容纳物体的 叫做容器的容积．
9．（2011•北海校级模拟）地球、太阳、月球这三个星球中，体积最大的是 ，最小的是
A．地球 B．太阳 C．月球．
10．（2021春•铁力市期末）一个长方体的底面是面积为4平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体的侧面积是 平方米．
11．（2022秋•偃师市期末）（1）李明用彩泥放进模具里，做了一个棱长6cm的正方体，所用彩泥的体积是 cm3；如果把它捏成一个高4cm的长方体，长方体的底面积是 cm2。
（2）一个长方体包装盒底面是一个正方形，侧面展开图是一个边长20分米的正方形，这个长方体的表面积是 ，体积是 。
12．（2022秋•天元区期末）有一个底面是正方形的长方体，表面积70平方分米，正好截成了3个体积相等的正方体，每个正方体的表面积是 平方分米。
三．判断题（共5小题）
13．（2022秋•瀍河区期末）棱长是1分米的正方体，它的表面积是6立方分米．
14．（2016春•郑州校级月考）长方体的表面积比正方体的表面积大．
15．（2022春•禅城区期末）计算制作一个正方体月饼盒要用多少纸皮，是求月饼盒的容积。
16．（2019秋•贵阳期末）在杯子里装一些水，水的体积就是杯子的容积．
17．（2022秋•浮山县期末）如果将一个长方体的长，宽，高分别减少1dm，那么它的体积就减少1dm3。
四．计算题（共1小题）
18．（2022•杭州模拟）求出如图图形的表面积和体积。
五．应用题（共6小题）
19．（2022秋•锡山区期末）一辆货车，车厢从里面量长4米，宽2.5米，高1.5米．货物堆放的高度是1.2米，已知每立方米货物重1.6吨，那么这辆货车装的货物重多少吨？
20．（2022秋•下陆区期末）小明将一张长方形纸的一角如图那样折叠，你能帮小明求出阴影部分的面积吗？（单位dm）
21．（2022春•临高县期末）一个正方体油桶从里面量棱长为5dm，装满油后倒入一个长0.8m，宽0.25m的长方体容器里，油的高度是多少？
22．（2022秋•鄄城县期末）体育馆新建一个游泳池，长60米，宽40米，深30米。这个游泳池占地多少平方米？底面和四壁用瓷砖铺贴，共需多少平方米瓷砖？
23．（2022秋•莱阳市期末）一种礼物的盒长10厘米，宽5厘米，高1厘米，小明要把这样的两盒礼物包装在一起，至少需要多少平方厘米的包装纸？（重叠部分忽略不计。）
24．如图，有一个装饼干的长方体铁盒，长20cm、宽18cm、高30cm．在这个铁盒的四周贴了一圈商标纸，商标纸的面积是多少平方厘米？
一．选择题（共6小题）
1．（2022春•玉屏县期末）根据图，甲的表面积（ ）乙的表面积
A．大于B．小于C．等于D．不确定
2．（2022秋•宜阳县期末）在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）
A．216dm3B．27dm3C．8dm3
3．（2019春•章丘区期末）一个长方体的底是面积为4平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（ ）平方分米．
A．18B．48C．64
4．（2019•永州模拟）一个圆柱形粮仓，要求能放进多少粮食，是求这个粮仓的（ ）
A．体积B．容积C．表面积D．底面积
5．（2022春•明溪县期中）如图，明明将一张正方形纸先左右对折，再上下对折，然后剪去一个圆，展开后是（ ）
A．B．C．
6．（2022•崇川区）一个封闭的玻璃缸，长8分米，宽5分米，高4分米，里面水深2分米。现将这个玻璃缸以最小的面作为底面竖直摆放，缸中水的深度是（ ）分米。
A．2B．2.5C．3.2D．4
二．填空题（共6小题）
7．（2022秋•连云港期末）一个长方体玻璃鱼缸体积是240立方分米，高是5分米，这个鱼缸的占地面积是 平方分米。
8．一个长方体长5厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体有2个面是 形，有 个面的面积相等，长方体的表面积是 ．
9．（2022秋•永定区期末）图是一张长方形纸折起来后的图形。已知∠1＝28°，那么∠2＝ °。
10．（2022秋•寻乌县期末）将一个直径为10厘米的圆形纸片沿直径对折后，得到一个半圆，这个半圆的周长是 厘米，面积是 平方厘米．
11．（2022秋•阜宁县期末）一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体，这时表面积就比原来减少64平方厘米。原来长方体的表面积是 平方厘米。
12．（2022秋•太原期末）小桐用1立方厘米的小正方体摆满这个长方体框架，一共需要 个这样的正方体才能摆满.摆成的长方体的体积是 立方厘米。
三．判断题（共5小题）
13．（2023•黄梅县模拟）体积相等的物体，它们的表面积也一定相等． ．
14．（2022春•兴文县期末）一个棱长是10dm的正方体铁皮箱，它的表面积和体积相等。
15．（2022春•合肥期中）容积210L的圆柱形油桶，它的体积一定是210立方分米．
16．（2022春•太子河区期末）两个长方体木箱的体积相等，则它们的容积也一定相等．
17．（2020秋•龙里县期中）把一张正方形纸片先上下对折，再左右对折，就能折出一个直角。
四．计算题（共1小题）
18．（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。
五．应用题（共6小题）
19．（2022秋•莱山区期末）毛叔叔用五块玻璃制作了一个长方体鱼缸，五块玻璃的大小如图所示，这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）（单位：厘米）
20．（2022春•丰台区期末）此图是一个长方体纸盒的后面和左面。这个纸盒上面的面积是多少平方分米？
21．一个正方体铁皮茶叶盒，棱长是1.5dm．如果实际用料是表面积的1.2倍，做这个茶叶盒至少要用多少平方分米的铁皮？
22．把一条长32dm的彩带连续对折2次，这时每段彩带长多少分米？如果要使每段彩带长1dm，那么应该将这条彩带连续对折几次？
23．（2022春•云阳县期末）在如图所示长方体盒子的四周贴上彩纸（如图，上、下两个面不贴，接头忽略不计），至少需要多少平方厘米的彩纸？
24．（2022春•东湖区期中）一个长3dm、宽24cm、高22cm的长方体玻璃缸中，水深19cm，小明将一块棱长为12cm的正方体铁块放入水中，玻璃缸中的水会溢出吗？（计算并说明理由）第七单元 长方体和正方体