专题03 平面直角坐标系中的图形面积——2022-2023学年人教版数学七年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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专题03 平面直角坐标系中的图形面积  1．点A、B是平面直角坐标系中轴上的两点，且，有一点与构成三角形，若的面积为3，则点的纵坐标为（    ）A．3 B．3或 C．2 D．2或【答案】B【解析】根据，求解即可．【详解】解：∵，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查图形与坐标，三角形面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．2．如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（    ）．A． B． C． D．或【答案】B【解析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值．【详解】解：作轴于点P，∵、、、，∴，∴，，，，∴，∴，①当即时，即，解得：，∴；②当即时，即，解得：，∴；综上可知．故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．3．已知点，，点P在x轴上，且的面积为5，则点P的坐标是（   ）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】根据B点的坐标可知边上的高为2，而的面积为5，点P在x轴上，可得，设点P的坐标为，再根据数轴上两点间的距离，即可求得P点坐标．【详解】解：，，点P在x轴上，的边上的高为2，又的面积为5，，设点P的坐标为，则，或，解得或，点P的坐标为或，故选：C．【点睛】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴上一点，且的面积为12，则点的坐标为___________．【答案】或【解析】根据题意得出，进而分类讨论即可求解．【详解】解：如图，过点作轴，∵，∴，∴∵，∴，设，∵，∴，解得：或，∴点的坐标为或．故答案为：或【点睛】本题考查了坐标与图形，分类讨论是解题的关键．5．若点，，点A在x轴上，且的面积是2，则点A的坐标是_______【答案】或【解析】根据点A在x轴上，设点A的坐标为，得到，再利用三角形的面积求出，即可得到点A的坐标．【详解】解：设点A的坐标为，，，，，，，点A的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了坐标与图形，找出三角形面积与顶点坐标之间的关系是解题关键，属于中考常考题型．．6．如果点，，点C在y轴上，且的面积是5，则C点坐标_________．【答案】或【解析】设点C的坐标为，求出的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：设点C的坐标为，∵，，∴，由题意得：，解得：或，∴点C的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查的是三角形的面积、坐标与图形性质等知识点，正确表示出的长、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键．7．已知点，点，点是坐标轴上一动点，若三角形的面积为，则的坐标为__________．【答案】或，或【解析】首先根据条件画出图，如图所示，当点在轴上时，则为底，点的纵坐标数值为高，根据面积公式求出底的长度，即可得到点坐标；当点在轴上时，可分析出不可能在正半轴，故只能在负半轴，如图，设出点坐标，用割补法表示的面积即可求得．【详解】解：当点在轴上时，解得：所以点有两个，，当点在轴上时，点符合题意，当点向上移动时，面积变大，在正半轴不存在符合条件的点．设在轴负半轴上点，则 即：解得：所以，点坐标为故答案为：或或【点睛】本题主要考查了分类讨论的数学思想，相关知识点有：割补法求面积，对点的位置进行分类讨论是解题的关键．8．如图，已知四边形．(1)分别写出点的坐标；(2)试求四边形的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）．【答案】(1),,,(2) 【解析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；（2）首先把四边形 分割成规则图形，再求其面积和即可．【详解】（1）,,,（2）【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及求不规则图形的面积，关键是把不规则的图形正确的分割成规则图形．9．如图所示，三角形（记作）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．(1)在图中画出．(2)分别写出点，，的坐标．(3)若轴有一点，使与面积相等，求出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)，，(3)或 【解析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．（2）根据点的位置得出坐标即可．（3）利用等高模型解决问题即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作．（2）如图，，，．（3）如图，根据同底等高的三角形面积相等可得：满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．如图，在中，已知点，点(1)根据上述信息在图中画出平面直角坐标系，并求出的面积：(2)将沿轴向右平移3个单位得到，在图中作出并写出点的坐标．【答案】(1)图见解析，3(2)图见解析， 【解析】（1）根据两点的坐标确定出平面直角坐标系的位置，根据三角形面积公式求出的面积即可；（2）根据平移的性质，画出平移后的图形，写出点的坐标即可．【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所作，；（2）如图：即为所作，点的坐标为．【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据点的坐标确定坐标轴的位置，平移的性质等知识点，读懂题意根据点的坐标确定出坐标轴的位置是解本题的关键． 11．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且．(1)求a，b的值；(2)在y轴的上存在一点M，使，求点M的坐标；(3)如图2，过点C作轴交y轴于点D，点P为线段延长线上一动点，连接平分，．当点P运动时的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．【答案】(1)(2)或，(3)的值是定值，，理由见解析 【解析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可进行解答；（2）先根据A、B、C的坐标求出求出的值，再根据y轴上点的坐标特征，设，最后根据三角形的面积公式将表示出来即可；（3）根据，得出，，再根据平分得出，进而得出，最后根据平行线的性质得出即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，则，∴；（2）由（1）可知，∴，∵，∴点C到x轴距离为2，∴，∵当M在y轴上时，∴设，∴，∵，∴，∴，∴或，（3）如图2中，结论：的值是定值，理由：∵，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识点并灵活运用．12．如图，三角形三个顶点坐标分别为，，．若，两点的位置不变，点在坐轴上，则点在什么位置时，三角形的面积是三角形面积的2倍？（即求出点的坐标）【答案】或或或【分析】计算出三角形的面积，分类讨论点M在x轴和y轴的两种情况，设出坐标建立方程解决．【详解】解：由题得，，①点M在x轴上，设点M的坐标为，，解得，点M的坐标为或，②点M在y轴上，设点M的坐标为，，，点M的坐标为或，综上所述，点在或或或时，三角形的面积是三角形面积的2倍．【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何图形，解决本题的关键是分类讨论点M在不同坐标轴上的情况，设出坐标建立方程．   13．如图，已知平面直角坐标系中，，，．(1)求三角形的面积；(2)设点在坐标轴上，且三角形与三角形的面积相等，直接写出点的坐标．【答案】(1)4(2)或或或 【解析】（1）结合图形，利用割补法即可求解；（2）分两种情况讨论：当点在轴上时，设点的坐标为，即有：，则的面积为，当点在轴上时，设点的坐标为，即有：，则的面积为，问题随之得解．【详解】（1）如图：利用割补法可得：；（2）∵，，∴，，当点在轴上时，设点的坐标为，即有：，则的面积为，又∵的面积等于4，，∴，解得或者，∴点的坐标为或；当点在轴上时，设点的坐标为，即有：，则的面积为，又∵的面积等于4，，∴，解得，，∴点的坐标为或，综上得，满足条件的点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了坐标与图形，利用割补法求解三角形面积等知识，掌握利用割补法求解三角形面积是解答本题的关键．解答此题时注意分类讨论的思想．14．如图，三角形中任一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．(1)直接写出、的坐标分别为          ，          ；(2)在图中画出；(3)请直接写出的面积是          ．【答案】(1)(2)见解析(3)8 【解析】（1）根据经平移后对应点为，确定平移规则，进而求出、的坐标即可；（2）根据平移规则，进行作图即可；（3）割补法求出的面积即可．【详解】（1）解：由点经平移后对应点为可知：平移规则为：先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，由图可知：，∴ ，即：；故答案为：（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：由图可知：．【点睛】本题考查坐标下的平移．解题的关键是根据对应点，确定平移规则．15．如图，在直角坐标系中(1)点坐标为（___________，___________），点坐标为（___________，___________）．(2)若把向上平移个单位，再向左平移个单位得到，画出平移后的图形．(3)三角形的面积是___________．【答案】(1)，(2)作图见解析(3) 【解析】（1）根据直角坐标系的特点写出点、的坐标；（2）分别将点、、向上平移个单位，再向左平移个单位，然后顺次连接；（3）用三角形所在的长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得解．【详解】（1）解：如图，点坐标为，点坐标为．故答案为：，；，．（2）如图，即为所作．（3）．故答案为：．【点睛】本题考查根据平移变换作图，根据直角坐标系写点的坐标，运用了等积变换求三角形的面积．解题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．16．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是（5，3），（2，1），，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．(1)点的坐标为______，点的坐标为______；(2)①画出三角形；②求出三角形的面积；(3)点是轴上一动点，当时，请直接写出点的坐标______．【答案】(1)，(2)①图见解析；②8.5(3)或 【解析】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．（3）设，构建方程求解即可．【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）解：如图，三角形即为所求；三角形的面积；（3）解：设，由题意，，或．或，故答案为：或．【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．(1)将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．①请画出平移后的线段．②点的坐标为．(2)在（）的条件下，设平移过程中线段扫过的面积为，求的值．【答案】(1)①见解析；②(2)33 【解析】（1）根据由点平移到点的过程可推出M点在平移过程中坐标的变化过程，进而推出由N点平移后B点的坐标，连接即可；（2）由割补法求线段扫过的面积即可．【详解】（1）解：①如图， 已知A点坐标为，所以M点横坐标加3，纵坐标加5，可变为A点，故N点横坐标加3，纵坐标加5，可变为B点，故B点坐标为，根据B点坐标画出图象即可， ；②平移后B点的坐标为；（2）如图，可知．【点睛】本题考查平面直角坐标系，平移变换，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，将先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的．(1)画出平移后的；(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，请直接写出点的坐标（用含x，y的式子表示）；(3)连接，求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)9 【解析】(1)先确定平移后的坐标，再描点画图形即可．(2)根据平移规律写出坐标即可．(3)过点作于点D，根据三角形面积计算公式计算即可．【详解】（1）∵，，，将先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，∴，，即，，，画图如下：故为所求．（2）∵先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，．（3）过点作于点D，．【点睛】本题考查了平移，三角形面积计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，有点，点，点．(1)若，，求的面积．(2)若在第二象限，轴，线段交y轴于点．①判断的形状，并说明理由．②沿x轴正方向平移，使点B与原点重合，得到，求四边形的面积．【答案】(1)6(2)①等腰直角三角形，理由见解析；② 【解析】（1）由A、B的坐标可得的长度，由点C的坐标即可求得的面积；（2）①由A、E的坐标可得，，由轴，即可得，从而，即可得的形状；②由四边形的面积的面积的面积，即可求得．【详解】（1）解：∵，，，，，；（2）①结论：△ABC是等腰直角三角形．理由：，，，，轴，，，是等腰直角三角形；②四边形的面积的面积的面积．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定，求图形面积等知识，熟悉这些知识是关键．20．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为,．(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出关于y轴对称的；(3)顺次连接A、、、B，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【解析】（1）根据A，C坐标，找到坐标原点，作图即可；（2）根据关于y轴对称特点，找出对应点顺次连接即可；（3）利用梯形面积公式求解．【详解】（1）平面直角坐标系如图所示．（2）如图，即为所求．（3）四边形的面积．【点睛】此题考查了确定直角坐标系，作轴对称图形，计算网格中图形的面积；正确掌握轴对称的性质及网格中图形面积的计算方法是解题的关键．21．已知三角形在平面直角坐标系中的位置如图：(1)平移三角形，使B点对应点，画出三角形；(2)若是三角形内部一点，则平移后三角形内对应点的坐标为______；(3)求三角形的面积．【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【解析】（1）由题意可得，根据，确定平移方式，画出三点，连接即可；（2）根据（1）中的平移方式，以及点的平移规律“左减右加，上加下减”，求解即可；（3）利用割补法求解三角形的面积即可．【详解】（1）解：由题意可得，由可得向左平移5个单位，向上平移4个单位，如下图：三角形即为所求，（2）解：由（1）可得向左平移5个单位，向上平移4个单位，得到点则，故答案为：；（3）解：三角形的面积为．【点睛】此题考查了坐标与图形以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．22．如图，四边形在平面直角坐标系中，且，，，．(1)将四边形四个顶点左移3个单位，同时下移2个单位，画出得到的四边形，写出与的坐标；(2)求四边形的面积．【答案】(1)图形见解析，，(2)15 【解析】（1）找到平移后的对应点，再依次连接，从而得到与的坐标；（2）利用分割法把四边形分割成两个三角形和一个直角梯形求解即可．【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，其中，；（2）如图，．【点睛】本题考查作图-平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求多边形面积．23．如图1 ，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，现同时将A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接、、．(1)写出C、D的坐标并求出四边形的面积．(2)在x 轴上 是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图 2、3、4，点 P 是直线上的一个动点，连接、，当点P在直线上运动时，请直接写出与、的数量关系．【答案】(1)8；(2)存在，点的坐标为或；(3)当点在线段的延长线上运动时，； 当点在线段的延长线上运动时，；当点在线段上运动时，．【解析】（1）根据点的平移规律可得，的坐标，然后利用即可求出四边形的面积；（2）根据的面积是面积的2倍，得，即可求出点的坐标；（3）当点在线段延长线上运动时，作，当点在线段的延长线上时，作，当点在线段上运动时，作，分别根据平行线的性质和平行线间的传递性求解即可．【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为、，∴将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，∴，，，，，∴四边形的面积为：．∴点的坐标为，点的坐标为，四边形的面积为．（2）存在，如图，设，∵，，∴，又∵的面积是面积的2倍．∴，∴，∵，∴，解得：或，∴点的坐标为或．（3）当点在线段延长线上运动时，作，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；当点在线段的延长线上时，作，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，当点在线段上运动时，作，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．综上所述：当点在线段的延长线上运动时，； 当点在线段的延长线上运动时，；当点在线段上运动时，．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，点平移的规律，梯形的面积，三角形的面积等知识点．对点的位置进行分类讨论是解题的关键．24．如图所示，，，点在轴上，且．(1)求点的坐标；(2)求三角形的面积；(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，或 【解析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．【详解】（1）如图，当点在点的右边时，，当点在点的左边时，，所以的坐标为或；（2）的面积，答：的面积为；（3）设点到轴的距离为，则，解得，当点在轴正半轴时，，当点在轴负半轴时，，综上所述，点的坐标为或【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．(1)则点的坐标为______，点的坐标为______．(2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向匀速运动．点到达点时整个运动随之结束，的中点的坐标，设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．(3)如图，点是线段上一点，且满足，点是第二象限中一点，连，使得，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动时，的值始终保持不变，请直接写出这个定值______．【答案】(1)(2)存在，(3)2 【解析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得，的值，即可得出答案；（2）先得出，，，，再根据，列出关于的方程，求得的值即可；（3）过点作的平行线，交轴于，先判定，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出，，最后代入进行计算即可．【详解】（1）解：∵，，，解得，，，；故答案为：；（2）存在，理由：如图中，，由条件可知：点从点运动到点时间为秒，点从点运动到点时间为秒，时，点在线段上，即 ，，，，，，，；（3）结论：的值不变，其值为．理由如下：如图2中，，又，，，，，，如图，过点作的平行线，交轴于，则，，，，∴．故答案为：2【点睛】本题考查了坐标与图形、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．