高考数学真题专题训练 07平面向量（含解析）

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专题07 平面向量 1.（新课标Ⅲ）已知向量a，b满足，，，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，，，.，因此，.2.（山东卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，3.（北京卷）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】 (1). (2). 【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.4.（天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】 (1). (2). 【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.5.（浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．【答案】【解析】，，，.6.（江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.7.（新课标Ⅱ）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.8.（新课标Ⅰ）设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以 1．【高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．2．【高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则· =A．−3 B．−2C．2 D．3【答案】C 【解析】由=—=（1，t-3），，得，则，．故选C．3．【高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即，因为，所以|+|>||；当|+|>||成立时，|+|2>|-|2•>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C．4．【高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，，所以，所以．5．【高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.所以.6．【高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故 1．【全国I卷】在中，为边上的中线，为的中点，则A． B． C． D．【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以.故选A.2．【全国II卷】已知向量，满足，，则A．4 B．3C．2 D．0【答案】B【解析】因为所以选B.3．（浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A．−1 B．+1C．2 D．2−【答案】A【解析】设，则由得，由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.4．【天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A． B． C． D．【答案】A【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.设 = 所以当时，上式取最大值，故选A.5．【北京卷】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.6．【全国III卷】已知向量，，．若，则___________．【答案】【解析】由题可得，，，，即，故答案为.7．【上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．8．【江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为___________．【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以 1．【全国III卷】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为A．3 B．2C． D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设，易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．2．【全国II卷】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B．3．【北京卷】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【全国I卷】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为.5．【江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．【答案】3【解析】由可得，，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以．6．【天津卷】在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】由题可得，则．7．【山东卷】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是___________．【答案】【解析】∵，，，，解得．8．【浙江卷】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，则，，则，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是． 1.【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（）（A）4 （B）–4 （C）（D）–【答案】B【解析】由，可设，又，所以, 所以，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量，，则（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A．4.【高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】设，，∴，，，∴，故选B.6.【高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【答案】－2【解析】由,得,所以,解得.8.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是 ▲ . 【答案】【解析】因为，，因此，9.【2016高考浙江理数】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是．【答案】【解析】，即最大值为