高考数学真题专题训练 05平面解析几何（含解析）

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专题05 平面解析几何

1.（新课标Ⅰ）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
2.（新课标Ⅰ）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以MP为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程．
3.（新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
4.（新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点
不妨设D为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
C的焦距的最小值为8。
5.（新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
6.（新课标Ⅲ）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
7.（北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
8.（北京卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
【答案】B
【解析】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
9.（山东卷）已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
10.（天津卷）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
11.（浙江卷）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
12.（北京卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】在双曲线C中，，，则，则双曲线C的右焦点坐标为，
双曲线C的渐近线方程为，即，
所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为.
13.（山东卷）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.


14.（天津卷）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
15.（浙江卷）设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【答案】 (1). (2).
【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
16.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.
【答案】
【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
17.（新课标Ⅰ）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
【答案】2
【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．

1．【高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
2．【高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
3．【高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．

4．【高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
5．【高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，
故选B.
6．【高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．②
C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】由得，，，
所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.
由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示，易知，
四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.

故选C.
7．【高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有，
∴，，，
∴.
故选D.
8．【高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
9．【高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.
10．【高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
11．【高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
12．【高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，得
又，∴
又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．

13．【高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因为，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
14．【高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲ .
【答案】4
【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.
由，得，，即切点，
则切点Q到直线x+y=0的距离为，
故答案为．

1．【北京卷】在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,故选C.
2．【全国Ⅲ卷】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则.
点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.
故点P到直线的距离的范围为，则.
故答案为A.
3．【全国Ⅱ】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以，
由的斜率为可得，
所以，，
由正弦定理得，
所以，
所以，，故选D．
4．【浙江卷】双曲线的焦点坐标是
A．(−，0)，(，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，)
D．(0，−2)，(0，2)
【答案】B
【解析】设的焦点坐标为，因为，，
所以焦点坐标为，故选B．
5．【全国Ⅱ】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．
6．【全国III】设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，，，
在中，，
在中，，
，即，
，故选C．
7．【全国I】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又，所以，
从而可以求得，故选D.
8．【全国I】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则
A． B．3
C． D．4
【答案】B
【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B．
9．【天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
10．【江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得
易得，与联立解得点的横坐标所以.
所以，
由得或，
因为，所以
【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
11．【浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】
【解析】设，，
由得，，
所以，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，
所以，
与对应相减得，，
当且仅当时取最大值．
12．【江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．
【答案】
【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，，．
13．【北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．
【答案】
【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆的离心率为．双曲线的渐近线方程为，由题意得双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以．


1．【浙江卷】椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，故选B．
2．【全国Ⅲ】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，故选A．
3．【天津卷】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
故选B．
4．【全国Ⅱ】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，
圆心到渐近线的距离为，
则点到直线的距离为，即，
整理可得，则双曲线的离心率．
故选A．
5．【全国III】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，
在椭圆中：，，故双曲线C的焦点坐标为，
据此可得双曲线中的方程组：，解得，
则双曲线的方程为．故选B．
6．【全国I】已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14
C．12 D．10
【答案】A
【解析】设，直线的方程为，
联立方程，得，∴，
同理直线与抛物线的交点满足，
由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号．
故选A．
7．【北京卷】若双曲线的离心率为，则实数m=_______________．
【答案】2
【解析】，所以，解得．
8．【山东卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．
【答案】
【解析】由抛物线定义可得：,
因为,所以渐近线方程为.
9．【江苏卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________．
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，
设，则，，，
所以四边形的面积．
10．【全国I】已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________．
【答案】
【解析】如图所示，作，

因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，
则为双曲线的渐近线上的点，且，，
而，所以，
点到直线的距离，
在中，，代入计算得，即，
由得，所以．
11．【全国II】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________．
【答案】
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，

在直角梯形中，中位线，
由抛物线的定义有：，结合题意，有，
故．

1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
2.【高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）1
【答案】C
【解析】设（不妨设），则
，故选C.
3.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m 【答案】A
【解析】由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A．
5.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【答案】B
【解析】如图,设抛物线方程为,交轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选B.

7.【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得，.设OE的中点为N，则，则，即，整理，得，所以椭圆C的离心率，故选A．
8.【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 ▲ .

【答案】
【解析】由题意得，因此
10.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.
【答案】
【解析】抛物线的普通方程为，，，
又，则，由抛物线的定义得，所以，则，
由得，即，
所以，，
所以，解得．
11.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
12.【高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．
13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________.
【答案】
【解析】．焦距为2c
故答案应填：。