2022-2023年苏科版数学八年级下册专项复习精讲精练：专题02 平行四边形、矩形【考点梳理+专题训练】（原卷版+解析版）

专题02 平行四边形、矩形

知识点一、平行四边形的定义

1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

2. 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点二、平行四边形的性质

1. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.

2. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

3． 平行四边形边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

4． 平行四边形角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

5． 平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分.

6. 平行四边形常见的结论：

（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；

（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；

（3）平行四边形被对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的.

例：如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝　     　．

【考点】平行四边形的性质．版权所有

【解答】解：∵DB＝CD，

∴∠DBC＝∠C＝70°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DBC＝70°，

∵AE⊥BD于E，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°，

故答案为：20°．

知识点三、平行四边形的判定

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

PS：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；

（2）满足两组邻边分别相等或两组邻角分别相等不能判定四边形是平行四边形.

例：如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°．

（1）求线段OC的长．

（2）求证：四边形ABCD为平行四边形．

【考点】平行四边形的判定．版权所有

【解答】（1）解：∵∠ADB＝90°，AD＝12，OD5，

∴OA13，

∵AC＝26，

∴OC＝AC﹣OA＝26﹣13＝13，

∴OC的长是13．

（2）证明：由（1）得OA＝13，OC＝13，

∴OA＝OC，

∵OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

知识点四、反证法

 在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为假设法.

1. 提出的假设要能列出所有的反面，有些结论的反面不止一个，如的反面就有两个，；

2. 推导的矛盾结果有以下两类：①与已知条件相矛盾；②与已知的公理、定理相矛盾.

例：对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 　                    　．

【考点】反证法；平行四边形的判定．版权所有

【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：四边形ABCD是平行四边形．

知识点五、矩形

1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

 矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形.

2. 矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.

（1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；

（2）矩形是中心对称图形，过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；

（3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）；

（4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.

3. 矩形的判定定理

（1）三个角是直角的四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

4. 判定矩形的思路：

例：已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB＝8，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．

【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．版权所有

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝90°，

又∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∴四边形AODE是矩形．

（2）解：∵∠BCD＝120°，四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD＝∠BCD＝120°，

∴∠BAO＝120°÷2＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴AOAB＝4，

∴BO4，

∴DO＝BO＝4，

∴四边形AODE的面积＝4×416．