人教版 (2019)选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度测试题

2.5 实验用单摆测量重力加速度

解题要点梳理：

1.   实验原理：
2.   测摆长：用米尺量出从悬点到小球上端的悬线长l0，再用游标卡尺测量出摆球的直径d，则摆长。
3.   计算g的方法：

平均值法：利用多次测量的L，T值，带入公式，并求g的平均值；

图像法：由T=2π得T2=l,作出T2-l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴。其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g， 。

基础巩固

1.（2021·山东·微山县第二中学高二阶段练习）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精确度有利的是（   ）

A．适当加长摆线

B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的

C．单摆偏离平衡位置的角度越大越好

D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期

【答案】A

【详解】A．当适当加长摆线时，单摆的周期将增大，故可以减小周期测量的相对误差，A正确；B．质量相同，体积越大的摆球，所受的阻力会影响其做单摆运动，B错；C．单摆偏离平衡位置的角度不能超过10°，C错；D．在D中，会增大周期测量的误差，D错。故选A。

2.（2022·北京师大附中高二期中）（多选）用单摆测量重力加速度实验中，用多组实验数据作出周期T的平方和摆长L的T2—L图线，可以求出重力加速度g。已知两位同学作出的图线如图中的a、b所示，其中a和b平行，图线a对应的g值很接近当地重力加速度的值。相对于图线a，关于图线b的分析正确的是（　　）

A．可能是误将绳长记为摆长L

B．可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L

C．可能是误将51次全振动记为50次

D．根据图线b也能准确测出当地的重力加速度

【答案】AD

【详解】根据单摆的周期公式，得，根据数学知识可知，图象的斜率

，当地的重力加速度，AB．由图象可知，对图线b，当L为零时不为零，所测摆长偏小，可能是误将绳长记为摆长L，故A正确，B错误；C．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小，故C错误；D．由图示图象可知，图线a与图线b的斜率相等，由，可知，图线b对应的g值等于图线a对应的g值，故D正确。

故选AD。

3.（2023·全国·高三专题练习）（多选）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，下列说法正确的有（　　）

A．摆线要选择细些、伸缩性小些且尽可能长一些的

B．摆球尽量选择质量大些且体积小些的

C．将悬线的长度当成摆长，测得的重力加速度值偏小

D．拉开摆球释放（摆角小于5°），当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球通过平衡位置51次的时间Δt，则单摆周期T=

E．画出的周期的二次方与摆长（T2-L）的图象是一条过原点的倾斜直线，直线斜率等于重力加速度的大小

【答案】ABC

【详解】A．“用单摆测定重力加速度”的实验中，单摆的周期仅与摆长和重力加速度有关，且摆角要控制在5°以下，摆线要选择细些、伸缩性小些且尽可能长一些的，A正确；B．由于空气阻力与摆球的横截面积有关，为了减小摆球运动过程中受到的空气阻力，摆球要尽量选择质量大些且体积小些的，B正确；C．由单摆周期公式，可知，将悬线的长度当成摆长，测得的重力加速度g值偏小，C正确；D．拉开摆球释放（摆角小于5°），当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球通过平衡位置51次的时间Δt，则Δt时间内单摆运动的周期数为25，所以单摆周期，D错误；E．画出的周期的二次方与摆长（T2-L）的图象是一条过原点的倾斜直线，由T=2π，可知T2=L，T2-L图象的斜率等于，E错误。故选ABC。

4.（2022·吉林·洮南市第一中学高二阶段练习）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺（如图）测量出从悬点量到摆球的最底端的长度，再用游标卡尺（如图）测量出摆球直径___________m，则单摆摆长___________m。测周期时，当摆球经过___________位置时开始计时并计为第1次，测得第N次（约30~50次）经过该位置的时间为t，则周期为___________。

【答案】     0.0186     0.8747     平衡    

【详解】[1]根据游标卡尺读数规则可知摆球的直径为，单摆摆长为，摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大。摆球在最低点附近速度较大，由位置判断的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时，即经过平衡位置时开始计时。从计时零点算起，摆球每经过半个周期会经过一次平衡位置，所以，解得。

5.（2022·湖北·公安县第三中学高二阶段练习）在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时

（1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为___________

A．长的结实的细线、小木球、秒表、米尺、铁架台

B．长的结实的细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台

C．长的结实的细线、大木球、秒表、量程的刻度尺、铁架台

D．长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台

（2）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最___________（填“高”或“低”）点的位置时开始计时，并计数为，摆球每次通过该位置时计数加当计数为时，所用的时间为秒，则单摆周期为___________秒

（3）实验时某同学测得的值偏大，其原因可能是___________。

A．实验室的海拔太高                 

B．摆球太重

C．测出次全振动时间为，误作为次全振动时间进行计算

D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了

（4）有两位同学利用假期分别去参观北京大学和厦门大学的物理实验室，各自在那里利用先进的系统较准确地探究了“单摆的周期与摆长的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了图像，如图甲所示去北大的同学所测实验结果对应的图线是___________（填“”或“）另外，在厦大做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两种单摆的振动图像如图乙所示，由图可知，a、b两单摆的摆长之比=___________。（北大所在地的纬度比厦大高）。

【答案】     B     低          C     B     4∶9

【解析】（1）实验中应采用长1m左右，不能形变的细线，小球选用体积小质量大小的金属球，另外还要有秒表、刻度尺和铁架台等；故B正确，ACD错误。（2）摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小。所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时。由题分析可知，单摆全振动的次数为，周期为；

（3） A．海拔太高时，重力加速度较小，这肯定不是测量结果偏大的原因，故A错误；B．摆球的重力对周期无影响，故B错误；C．实验中误将n次全振动计为n+1次，根据，求出的周期变小，g偏大，故C正确；D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，根据单摆周期公式，测得的单摆周期变大，故由，可知得到的g值偏小，故D错误。故选C。

（4）根据单摆周期公式，可得知T2～L图像的斜率越大，则重力加速度越小，因为厦门当地的重力加速度小于北京，去北大的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线；

由振动图线知，两单摆的周期比为，根据单摆周期公式，可知两单摆摆长之比

6.（2022·四川·雅安中学高二期中）某同学“用单摆测量南川中学的重力加速度”。

（1）组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是___________（填字母代号）。

A．保证摆动过程中摆长不变    B．可使周期测量得更加准确

C．需要改变摆长时便于调节    D．保证摆球在同一竖直平面内摆动

（2）用游标卡尺测出单摆小球的直径D如图所示，则D=___________cm。

（3）为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制T2-L图像如图所示。由图可知重力加速度大小为g=___________（用图中字母表示）。

（4）关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是(      )（填正确答案标号）。

A．如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球

B．摆线要选细些的、伸缩性好的

C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，测量出的重力加速度g值偏小

【答案】     AC     1.35          AD

【解析】（1）ABCD．在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧的目的一是为了防止摆动过程中摆长发生变化，二是方便调节摆长，故AC正确，BD错误。

故选AC。（2）单摆小球的直径；（3）由单摆周期公式得，由图像可知，解得；（4）A．摆球应选择小体积大质量，所以如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球，故A正确；B．为了减小空气阻力的影响，摆线要选细些的；为了保证摆长不变，摆线应选择伸缩性小的，故B错误；C．单摆运动的摆角应不超过，故C错误；D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，则实际摆长变长，测量值偏小，由 可知测量出的重力加速度g值偏小，故D正确。故选AD。

7.（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作：

（1）如图甲所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径为_______cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长。

（2）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为，单摆每经过最低点记一次数，当数到时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期_____s。（结果保留三位有效数字）

（3）测量出多组周期、摆长数值后，画出图像如图丙所示，图线斜率的物理意义是_____。

A．                  B．                    C．                  D．

【答案】     2.26     1.69~1.68     D

【解析】（1）图甲为10分度游标卡尺，精确值为，根据其示数可得摆球直径为

（2）由图示秒表可知，秒表示数为,单摆的周期为（3）由单摆周期公式,可得,则图像的斜率为,D正确，ABC错误；故选D。

8.（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二期末）在“利用单摆测重力加速度”的实验中

（1）以下做法中正确的是________；

A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长

B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间

C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动

D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°

（2）某同学先用米尺测得摆线长为97.43cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为________cm，则单摆的摆长为________cm；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为________s。（结果均保留4位有效数字）

（3）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出l－T2图像，如图丙所示。实验得到的L－T2图像是________（选填“a”“b”或“c”）；

（4）关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是________（填正确答案标号）。

A．如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球

B．摆线要选细些的、伸缩性好的

C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，测量的重力加速度g值偏小

【答案】     C     2.125     98.49     100.0     c     AD

【详解】（1）A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球球心的距离，故A错误；

B．测量周期时，选取平衡位置作为计时起点与终止点，因为摆球通过平衡位置时速度最大，相等的距离误差时，引起的时间误差较小，测量的周期精确，故B错误；C．要保证单摆在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，故C正确；D．单摆摆动时，对摆角的大小有要求，摆角的大小不超过5°，故D错误；故选C；（2）游标卡尺的精度为0.05mm，其读数主尺与游标尺的读数之和，故摆球直径

d=21mm+5×0.05mm=21.25mm=2.125cm，单摆摆长等摆线长加摆球的半径，即

，由秒表读得50次全振动的时间t=90s+10.0s=100.0s；（3）摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长L，悬点到小球最低点的距离作为摆长l，则L=l-r，由单摆周期公式

，得，由图示图象可知，实验得到的l-T2图象应该是c；（4）A．为减小空气阻力对实验的影响，如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球，故A正确；B．为了提高测量的精确度，摆线应选用伸缩不计的细线，如轻质、无弹性的棉线做为摆线，故B错误；C．若摆线相距平衡位置有较大的角度，则单摆就不能视为简谐运动了，故C错误；D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，实际摆长变大，根据单摆周期公式，可知，测量的重力加速度g值偏小，故D正确。故选AD。

能力提升

9.（2022·山东淄博·高二期末）将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心之间的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g．

（1）现有如下测量工具：A．毫米刻度尺；B．秒表；C．天平，本实验所需的测量工具有_______；

（2）如果实验中所得到的关系图象如图乙所示，那么对应的图象应该是a、b、c中的________；

（3）由图可知，小筒的深度_______m；计算可求当地重力加速度_______（取，g值计算结果保留三位有效数字）．

【答案】     AB          0.3     9.86

【详解】（1）[1]本实验需要测量筒的下端口到摆球球心之间的距离L，单摆摆动周期T，不需要测量质量，故C错误AB正确。故选AB。（2）由单摆的周期公式，可得

当时，，则对应的图象应该是图乙中的。（3）由上述公式可知当时，

，即图像与横轴的交点为，则，根据图乙中的可得，斜率，

则可得

10.（2022·天津北京师范大学静海附属学校高二期中）某同学利用单摆测定当地重力加速度，实验装置如图甲所示，实验时使摆球在垂直于纸面的平面内摆动，为了将人工记录改为自动记录，在摆球运动最低点的右侧放一激光光源，在其左侧放一个与自动记录仪相连的光敏电阻。他用刻度尺测量细绳的悬点到均匀小球的顶端的距离当作摆长，测得摆长为L1时，仪器显示的光敏电阻R随时间t变化的图线如图乙所示。

①从图像乙可以看出，摆长为L1时振动周期为_______；则重力加速度表达式_______

②若保持悬点到小球顶端距离不变，换用直径为原来一半的另一均匀小球进行实验，则图乙中的t1将____（填“变大”、“不变”或“变小”）；与摆线长度加上小球半径作为摆长相比，此法求得的重力加速度___（填“偏大”、“偏小”或“相同”）。

③实验中，有三位同学作出T2—L的图线分别如图丙中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线a和c，下列分析正确的是_____（填选项前的字母）。

A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L

B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次

C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值

【答案】     2t1          变小     相同     B

【解析】①单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从图像乙可以看出，摆长为L1时振动周期为2t1，根据公式，可得重力加速度表达式为

②根据公式，可知，若保持悬点到小球顶端距离不变，换用直径为原来一半的另一均匀小球进行实验，则图乙中的t1将变小。由于重力加速度与小球的半径大小没关系，故可得与摆线长度加上小球半径作为摆长相比，此法求得的重力加速度相同。③ A．由图所示图象可知，对图线a，当L为零时T不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的距离作为摆长，A错误；B．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小，B正确；C．由图可知，图线c对应的斜率k偏小小于图线b对应的斜率，由

，可知，图线c对应的g值大于图线b对应的g值，C错误。故选B。

11.（2022·四川省内江市第六中学高二期中）根据单摆周期公式，可以通过实验测当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆：

（1）为尽量减少误差，用秒表测时间时应从钢球通过___________（选填“最高点”或“最低点”）时开始计时；

（2）某同学在实验中测出多组摆长L和振动周期T，作出图像如图乙所示。该图像的函数表达式为______________________；图像不过坐标原点的原因可能为______________________，重力加速度____________。（保留三位有效数字）

（3）伽利略曾经提出和解决了这样一个问题：一根细绳悬挂在黑暗的城堡中，人们看不到它的上端，只能摸到它的下端。为了测出细绳的长度，在细绳的下端系一个金属球，使之在竖直平面内做小角度的摆动。主要实验步骤如下：

①将一小球系于细绳的下端制成单摆，让单摆在竖直平面内做小角度摆动；

②当小球通过平衡位置时启动秒表（记为第1次），在小球第次通过平衡位置时止动秒表，读出秒表时间为；

③将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球次通过平衡位置的时间为。

回答下列问题：

①要达到测出细绳长度的目的，首先要测量当地的重力加速度。测量重力加速度还需要测量的物理量是____________（填序号字母）。

A．小球的质量m       B．细绳摆动的角度       C．截去的细绳长度       D．小球的直径d

②测得的当地重力加速度____________。

③细绳截去一段前，细绳的长度____________（当地重力加速度用g表示，小球的直径用d表示）。

【答案】     最低点          摆长漏掉了钢球半径     9.81     C         

【详解】（1） 因为摆球在最低点的速度最快，所以在最低点作为计时起点误差最小。（2）依图得，当时，；当时，，由此可解得该一次函数解析式为；图像不过坐标原点可能是因为摆长漏掉了钢球半径。根据单摆周期公式，变形可得，

所以，解得；（3）根据公式可知，当小球通过平衡位置时启动秒表（记为第1次），在小球第次通过平衡位置时止动秒表，读出秒表时间为t1，有，将细绳截去一段，重复实验步骤①②，测出小球次通过平衡位置的时间为t2，有，

联立两式得，由可知，需要测量的物理量有，故选C。

根据公式细绳截去一段前，有，细绳的长度。

12.（2022·全国·高三课时练习）实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．

①测出悬点O到小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g =_________（用L、n、t表示）．

②实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的_____(选填选项前的字母)．

A．长约1 m的细线

B．长约1 m的橡皮绳

C．直径约1 cm的均匀铁球

D．直径约10 cm的均匀木球

③选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图______中所示的固定方式．

④某实验小组组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是___________(填字母代号)．

A．保证摆动过程中摆长不变

B．可使周期测量得更加准确

C．需要改变摆长时便于调节

D．保证摆球在同一竖直平面内摆动

⑤他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L=0.9990m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为______mm．

⑥将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是_________(选填选项前的字母)．

A．测出摆线长作为单摆的摆长

B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动

C．在摆球经过平衡位置时开始计时

D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期

⑦甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图象，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量．你认为横坐标所代表的物理量是_____(选填“l2”“l”或“”)，若图线斜率为k，则重力加速度g=_________(用k表示)．

⑧乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是___________(选填选项前的序号)．

A．开始摆动时振幅较小

B．开始计时时，过早按下停表

C．测量周期时，误将摆球(n-1)次全振动的时间记为n次全振动的时间

D．测量摆长时从悬点到小球下端边缘的距离为摆长

【答案】          AC     图3     AC     12.0     BC               CD

【详解】①单摆的周期：，由单摆周期公式：，可知，重力加速度：；② 摆线选择较细且结实的线为便于测量周期和减小空气阻力，则选取1米左右的细线，故选择A线；为了减小空气阻力的影响，摆球选择质量大体积小的，故选择C球；故选AC；③为了避免运动过程中摆长发生变化，悬点要固定，不能松动，则为图3；④那样做的目的就是为了便于调节摆长，把摆线夹得更紧一些，使摆动过程中摆长不变．因此A、C正确．⑤游标卡尺示数为d=12.0mm=0.0120m=12.0mm；⑥ 摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，则A错误；把单摆从平衡位髓拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，B正确；在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误；⑦据单摆周期公式

所以应该作用图像，故 横坐标所代表的物理量是，知斜率，解得；

⑧由周期公式，得，振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下秒表，周期偏大，则g偏小，故B错误；测量周期时，误将摆球（n-1）次全振动的时间记为n次全振动的时间，则周期偏小，则g偏大，C正确；摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，若测量摆长时从悬点到小球下端边缘的距离为摆长，摆长偏大，由，所以g偏大，故D正确