专题9.13菱形的性质与判定大题专练（重难点 ，八下苏科）- 2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

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 2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】
专题9.13菱形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE//AC,AE//BD．求证：四边形AODE是矩形．

【答案】见详解
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的定义得出四边形AODE是矩形．
【详解】证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90∘,
∵DE//AC,AE//BD,
∴四边形AODE为平行四边形，
∴平行四边形AODE是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法．
2．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=AF，连接CE，CF．求证：∠AEC=∠AFC．

【答案】见解析
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：连接AC，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
在△AEC和△AFC中，AE=AF∠EAC=∠FACAC=AC，
∴△AEC≅△AFC(SAS)，
∴∠AEC=∠AFC．
【点睛】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图所示，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于O．

(1)求征：四边形ABCD是矩形；
(2)若BE=10，DF=24，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)AC=13

【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的性质得出DF⊥BE，即可证明四边形ABCD是矩形；
（2）根据菱形对角线的性质可知，AB=AE= 12BE，AF=AD= 12FD，用勾股定理即可求出BD的长度,即可求解．
【详解】（1）证明，∵BC∥FD，CD∥BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形BDEF是菱形，
∴DF⊥BE
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形BDEF是菱形，BE=10，DF=24，
∴AB=AE= 12BE=5，AF=AD= 12FD=12，
∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=52+122=13，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=13,
即AC=13．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定定理是解题的关键．
4．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)OA＝BC，理由见解析
【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE＝12BC，GF∥BC，GF＝12BC，从而得出DE∥GF，DE＝GF，即可证得四边形DGFE是平行四边形；
（2）由四边形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根据三角形中位线的性质可得DG＝12OA，GF＝12BC，从而得出OA＝BC．
【详解】（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE＝12BC．
∵点G、F分别是OB、OC的中点，
∴GF∥BC，GF＝12BC．
∴DE∥GF，DE＝GF．
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：OA＝BC，理由如下：
连接OA．

∵四边形DEFG是菱形，
∴DG＝GF，
∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，
∴DG＝12OA，GF＝12BC，
∴OA＝BC．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键．
5．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD是菱形，AC=16，DB=12，DH⊥AB于点H，

(1)求菱形ABCD的周长？
(2)求DH的长？
【答案】(1)菱形ABCD的周长为40；
(2)DH=485．

【分析】（1）先根据菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=10，即可得出菱形的周长；
（2）根据菱形的面积公式得到12•AC•BD=DH•AB，再解关于DH的方程即可．
（1）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC=12AC=8，OB=OD=12BD=6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB=AO2+BO2=10，
∴菱形ABCD的周长为：10×4=40；
（2）
解：∵S菱形ABCD=12•AC•BD，
S菱形ABCD=DH•AB，
∴DH•10=12×12×16，
∴DH=485．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
6．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE=OF，连接CE，DE．

(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)求证：OE∥BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由菱形ABCD可得出AC⊥BD，由F是CD的中点、EF=OF，证四边形OCED是平行四边形，进而得出结论；
（2）证明OF是△DBC的中位线即可得出结论．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵F是边CD的中点，
∴CF=DF，
又FE=OF，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）
∵四边形OCED是矩形，
∴DF=FC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=BO，
∴OF是△DBC的中位线，
∴OE∥BC．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，E为边BC上方一点，EB=EC，∠BEC=90∘．

(1)在图1中，请仅用无刻度的直尺作出BC边的中点F；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接AE、AF、DE、DF，若四边形AEDF为菱形，请探究AB、BC之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)BC=4AB

【分析】（1）连接AC，BD，过点E和AC与BD的交点O，作线段EF交BC于点F，则点F即为所求；理由：根据矩形的性质可得OB=OC，从而得到点O在BC的垂直平分线上，再由EB=EC，可得点E在BC的垂直平分线上，进而得到EF垂直平分BC，即可求解；
（2）证明EF=2AB，BC=2EF，可得结论．
（1）
解∶如图，连接AC，BD，过点E和AC与BD的交点O，作线段EF交BC于点F，则点F即为所求；

理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∵EB=EC，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分BC，即点F为BC的中点，
（2）
如图，

设EF交AD于点J．
∵EB=EC，∠BEC=90°，BF=CF，
∴EF=BF=CF，EF⊥BC，
∵四边形AEDF是菱形，
∴EJ=JF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠BAJ=∠BFJ=90°，
∴四边形ABFJ是矩形，
∴AB=FJ，
∴EF=2AB，
∵BC=2EF，
∴BC=4AB．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

(1)求证：四边形AQCP是平行四边形；
(2)若四边形AQCP是菱形，求t值．
【答案】(1)证明见解析
(2)当t＝1.5s时，四边形AQCP为菱形

【分析】（1）由题意易得BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t，然后根据矩形的性质可进行求证；
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，则有22+t2=4−t，进而问题可求解．
（1）
证明：由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
∵AP=CQ，又AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形；
（2）
解：由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，
即22+t2=4−t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝1.5，
故当t＝1.5s时，四边形AQCP为菱形．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、平行四边形及菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、平行四边形及菱形的判定是解题的关键．
9．（2019春·江苏南京·八年级南京市宁海中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点、过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A=______时，四边形BECD是正方形（直接写出答案）．
【答案】(1)见解析
(2)四边形BECD是菱形，理由见解析
(3)45°

【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
10．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当AB＝AC时，求证：四边形ADCF矩形；
(3)当△ABC满足条件 　 　时，四边形ADCF是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，则四边形ADCF是菱形，理由见解析

【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB，可得AF＝DB，从而得到AF＝DC，即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ADB＝90°，即可求证；
（3）当△ABC满足∠BAC＝90°时，根据直角三角形的性质可得AD＝DC＝12BC，即可求解．
（1）
证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
∠FAE=∠EDB∠AFE=∠EBDAE=DE，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）
证明：∵AB＝AC，且AD为BC边上的中线，
∴AD⊥CD，
即∠ADB＝90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（3）
解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，则四边形ADCF是菱形，
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AD是BC边的中线，
∴AD＝DC＝12BC，
又∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P．

(1)求证：PA＝PC．
(2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AECF是菱形，理由见解析

【分析】（1）连接AF，CE，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，进而结合已知条件可得AE＝CF，根据一组对边平行且相等可得四边形AECF是平行四边形，进而可得PA＝PC；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形即可得出结论．
（1）
证明：连接AF，CE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴PA＝PC；
（2）
解：四边形AECF是菱形．
理由：∵由（1）可知：四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握平行四边形的性质与菱形的性质是解题的关键．
12．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)EC=2.5．

【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，由角平分线的性质和平行线的性质可证AB=AF，可得结论；
（2）由菱形的性质可得AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，由勾股定理可求BO，由菱形的面积公式可求菱形ABEF的面积=24，可求平行四边形EFDC的面积，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵AF∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）
解：∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，
∴BO=AB2−AO2=25−9=4，
∴BF=8，
∴菱形ABEF的面积=12×6×8=24，
∵AD∥BC，AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF是平行四边形，
∴S平行四边形EFDC=36-24=12，
∴S菱形ABFE:S平行四边形EFDC=2：1，
∴BE：EC=2：1，
∴EC=2.5．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
13．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过AD的中点O作AD的垂线，分别交AB，AC于E，F两点，连接DE，DF．求证：四边形AEDF是菱形．

【答案】见解析
【分析】证明△AOE≌△DOF（ASA），由全等三角形的性质得出EO=FO，得出四边形AEDF是平行四边形，由菱形的判定可得出结论．
【详解】证明：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠FDA，
又∵∠AOE=∠DOF，AO=DO，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
又∵AO=DO，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD⊥EF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定的应用，能熟记菱形的判定定理是解答此题的关键，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
14．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD//BC，AE//DC，EF⊥CD于点F．

(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB＝3，AC＝4，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)125

【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵AD∥ BC，AE∥ DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=CE=12BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示

∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=AB2+AC2=5，
∵ΔABC的面积=12BC×AH=12AB×AC，
∴AH=AB×ACBC=125，
∵四边形AECD是菱形，
∴CD=CE，
∵S▱AECD=CE⋅AH=CD⋅EF，
∴EF=AH=125．
【点睛】此题考查菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是证明四边形AECD是菱形．
15．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，DB是▱ABCD的对角线．

(1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB、DB、DC于E、O、F，连接DE，BF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形DEBF为菱形，理由见解析

【分析】（1）利用基本作图，作线段BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，FB=FD，OB=OD，再证明△ODF≌△OBE得到DF=BE，所以DE=EB=BF=DF，于是可判断四边形DEBF为菱形．
【详解】（1）解：如图，EF、DE、BF为所作；

（2）解：四边形DEBF为菱形．
理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD，OB=OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDB=∠EBD，
在△ODF和△OBE中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴DF=BE，
∴DE=EB=BF=DF，
∴四边形DEBF为菱形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．
16．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．

(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件______（从①三个条件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中选择一个，写序号），能使结论_______成立（从两个结论①四边形ADEF为菱形；②四边形ADEF为矩形中选择一个，写序号），并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三种情况任选一种即可）

【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；
（2）若选①∠BAC=90°根据（1）中ADEF为平行四边形的基础，可以证明四边形ADEF为矩形；
若选②AE平分∠BAC，则在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF，从而得出四边形ADEF为菱形；
若选③AB＝AC，三角形中位线定理，即可证明EF＝DE ，再根据四边形AEDF为平行四边形，即可证明四边形为菱形．
（1）
证明：∵D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝12AC＝AF，
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）
解：选①∠BAC=90°，证明②四边形ADEF为矩形，
根据解析（1）可知，四边形ADEF为平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADEF为矩形．
选②AE平分∠BAC，证明①四边形ADEF为菱形，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC证明①四边形ADEF为菱形，
∵EF∥AB，EF＝12AB，DE∥AC，DE＝12AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∵四边形ADEF为平行四边形，
∴四边形ADEF为菱形．
故答案为：①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三种情况任选一种即可）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．
17．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD折叠，使C、A两点重合，点D的对应点为点G，折痕为EF，点E在BC上，点F在AD上．

(1)请你画出图形并标好字母，求证：四边形AECF是菱形；
(2)已知AB＝4，BC＝8，求线段FD的长．
【答案】(1)见解析
(2)线段FD的长为3．

【分析】（1）由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，由矩形性质得出AE=CE=CF=AF，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
（1）
解：画出图形如图所示：

证明：由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF∥CE，
∴∠AFE=∠CEF，
∵∠AEF=∠FEC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵CE=AF，
∴AE=CF，
∵AF=FC，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=4，∠D=90°，
∵AF=CF=AD-DF，CD2+DF2=CF2，
∴42+DF2=（8-DF）2，
∴DF=3，
故线段FD的长为3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
18．（2022秋·江苏·九年级开学考试）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD．

(1)如图1，延长DC到E，使CE = CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
(2)如图2，点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，判断四边形AFCG的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AFCG是菱形，理由见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CE，AB=CD，再由CE = CD，可得AB=CE，可得到四边形ABEC是平行四边形，再由AC⊥CD．即可求证；
（2）根据平行四边形的性质可得BC=AD，BC∥AD，再由点F，G分别是BC，AD的中点，可得CF=AG，可得到四边形AFCG是平行四边形，再由直角三角形的性质，AF=CF，即可求解．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴AB∥CE，
∵CE = CD，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵AC⊥CD．
∴∠ACE=90°，
∴四边形ABEC是矩形；
（2）解：四边形AFCG是菱形，理由如下：
在平行四边形ABCD中，BC=AD，BC∥AD，
∵点F，G分别是BC，AD的中点，
∴BC=2CF，AD=2AG，CF∥AG，
∴CF=AG，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∵四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BC=2AF，
∴AF=CF，
∴四边形AFCG是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
19．（2022春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：

(1)AB=AE；
(2)四边形ABFE是菱形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再根据平行线的性质可得∠CBE=∠AEB，然后根据角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，从而可得∠AEB=∠ABE，最后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据平行四边形的判定证出四边形ABFE是平行四边形，再结合（1）的结论，根据菱形的判定即可得证．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE．
（2）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
由（1）已证：AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
20．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO=CO,BO=DO，BD平分∠ABC．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)E为OB上一点，连接CE，若OE=1,CE=5,BC=25，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)过程见解析
(2)16

【分析】对于（1），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得∠ABD=∠ADB，可得AB=AD，即可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案；
对于（2），先根据勾股定理求出CO，BO，再根据菱形的面积等于对角线乘以的一半得出答案．
(1)
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2CO，BD=2BO．
在Rt△COE中，OE=1，CE=5，
∴CO=CE2−EO2=2，
∴AC=2CO=4．
在Rt△BOC中，BC=25，CO=2，
∴BO=BC2-CO2=4，
∴BD=2BO=8．
所以菱形ABCD的面积=12×4×8=16．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
21．（2022·江苏淮安·统考二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)当∠BAC＝_______°时，四边形ADCF是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)90

【分析】（1）利用AAS即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半证明AD=DC，再证明四边形AFCD是平行四边形即可得证．
（1）
证明：∵AF∥BC，
∴∠DBE＝∠AFE
∵E为AD中点，
∴EA＝ED，
∵∠BED＝∠FEA，
∴△AEF≌△DEB；
（2）
当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形；
理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD=12BC=BD=DC，
∵在（1）中已证得△AEF≌△DEB，
∴AF=BD，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形AFCD是菱形，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定等知识，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
22．（2022·江苏扬州·校联考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，将四边形ABCD折叠，使A，C两点重合，折痕与AD，AC，BC分别交于点E，O，F．

(1)请用尺规作出直线EF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析；
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线即可；
（2）证△AOE≌△COF（ASA），得OE=OF，再由OA=OC，得四边形AFCE为平行四边形，然后由EF⊥AC，即可得出结论．
（1）
解：连接AC，如图，直线EF即为所求作：
；
（2）
解：四边形AFCE是菱形．理由如下：
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由作图知：EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E、F分别是AD及其延长线上的点，CE∥BF．

(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)连接BE、CF，若AB=AC，四边形BECF是什么特殊的四边形，请证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，见解析

【分析】（1）由题意易得∠FBD=∠ECD，BD=CD，然后问题可求证；
（2）由（1）知DF=DE，然后可得四边形BECF是平行四边形，进而问题可求解．
（1）
证明：∵CE∥BF，
∴∠FBD=∠ECD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌△CDE；
（2）
四边形BECF是菱形，证明如下：
由（1）知，△BDF≌△CDE，
∴DF=DE，
又BD=CD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，即EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
24．（2022·江苏·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，AC平分∠BAD，

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．
【答案】(1)见解析
(2)10

【分析】（1）根据AB∥CD，AC平分∠BAD，可得AD=CD，从而得到AB=CD，可证得四边形ABCD是平行四边形，即可求证；
（2）根据菱形的性质，得到CD=13，AO=CO=12． 利用勾股定理即可得到OD的长，再结合三角形中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，即可求解．
（1）
解：∵AB∥CD，
∴∠BCAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）
解：连接BD，交AC于点O，如图，

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，
∴CD=13，AO=CO=12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB=OD，
∵CD=13， CO=12，
∴OB=OD=132−122=5，
∴BD=10，
又AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴EG =BD=10．
【点睛】本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件，需要多加练习才能提高．
25．（2022春·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF长为半径画弧，两弧交于点P连接AP并延长交BC于E，连接EF，得到四边形ABEF．

(1)根据以上尺规作图的过程，判断四边形ABEF的形状并证明；
(2)若∠C=60°,AE=83，求菱形ABEF的周长．
【答案】(1)四边形ABEF为菱形．
(2)32．

【分析】（1）根据作图的过程可知EA平分∠BAD，根据平行四边形的性质可得BE=BA，根据作图可知BA=FA，得BE=FA，证明四边形ABEF是平行四边形，进而可得四边形ABEF是菱形．
（2） 连接BF交AE于点O，结合（1）根据菱形的性质和∠C=60°，AE=83，即可求菱形ABEF的周长．
（1）
证明：根据作图可知EA平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD,
∴∠BEA=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA，
∵BA=FA，
∴BE=FA，
∵BE∥FA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
（2）
如图，连接BF交AE于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴BF⊥AE，BO=FO，AO=EO=43，
∠BEF=∠C=60°，
    
∴∠BEO=30°，
∴OB=33OE=4，
∴BE=2OB=8，
∴菱形ABEF的周长为4BE=32．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，菱形的判断与性质是解决本题的关键．
26．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．

(1)试判断四边形ABCD的形状并证明．
(2)若矩形长为8cm，宽为2cm，求四边形ABCD的最大面积．
【答案】(1)四边形ABCD是菱形，证明见解析
(2)172平方厘米

【分析】（1）作AR⊥BC，交BC于点R，AS⊥CD，交CD于点S，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两个矩形的宽度相等，可得AR＝AS，结合平行四边形的面积有AR⋅BC＝AS⋅CD，有BC＝CD，即得证；
（2）先确定菱形ABCD的形状，设BC＝x，则CG＝8-x，CD＝BC＝x，在Rt△CBG中，CG2+BG2＝BC2，即可求出BC，则菱形的面积可求．
（1）
四边形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC，交BC于点R，AS⊥CD，交CD于点S，

由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽度相等，
∴AR＝AS，
∵根据平行四边形的面积有AR•BC＝AS•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）
当这两张纸片叠合成如图2时，四边形ABCD的面积最大，
∵菱形ABCD的边上的高为矩形的宽，是定值，
∴菱形ABCD的边越大时，其面积也就越大，
即如图2，此时菱形ABCD的边BC得到最大，故此时菱形ABCD的面积最大，

由题条件有：BG=2，BH=DG=8，∠G=90°，
根据（1）的结论有：四边形ABCD是菱形，
即有BC=CD，
设BC＝x，则CG＝8-x，CD＝BC＝x，
在Rt△CBG中，CG2+BG2＝BC2，
∴8−x2+22＝x2，
解得x=174，
∴S＝BG⋅CD＝174×2=172（平方厘米）．
即四边形ABCD的最大面积为172平方厘米．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．利用好平行四边形的面积公式可以简化解题过程．
27．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（0