哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、(   )

A. B. C. D.

2、函数一部分图象如图所示，此函数的解析式为(   )

A.  B.

C.  D.

3、函数图象的一个对称中心是(   )

A. B. C. D.

4、已知，，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为(   )

A.2 B.4 C.6 D.8

5、已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是(   )

A. B. C. D.

6、已知是边长为1的正三角形，，，则(   )

A. B. C. D.1

7、记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A.已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动.若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y(单位：cm)与时间t(单位：min)的函数解析式为(   )

A. B. C. D.

8、设，，且，若向量c满足，则的最大值是(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

二、多项选择题

9、下列不等式中成立的是(   )

A. B.

C. D.

10、已知向量，，和实数，下列说法正确的是(   )

A.若，则或

B.

C.若则与共线同向

D.若，则为钝角三角形

11、已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则下列说法正确的有(   )

A.函数图像关于对称

B.函数的最小正周期为

C.函数的图像可由函数的图象向左平移个单位长度得到

D.若在上恒成立，则的最大值为

12、由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得(   )

A. B.

C. D.

三、填空题

13、__________.

14、已知向量与的夹角为，，，，则实数__________.

15、在中，，，若(x，y均大于0)，则的值为__________.

16、已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，__________.

四、解答题

17、设两个非零向量与不共线.

（1）若，，，求证A，B，D三点共线.

（2）试确定实数k，使和共线.

18、已知.

(1)若为第一象限角，求，；

(2)求的值.

19、已知向量与的夹角，且，.

(1)求，；

(2)求；

(3)与的夹角的余弦值.

20、已知函数.

(1)求函数的单调增区间；

(2)已知，，且，，求的值.

21、已知函数，且当时，的最大值为.

(1)求a的值；

(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围.

22、定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由.

(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：.

2、答案：A

解析：由函数的图象可知，，，故，解得，由“五点作图法”得，解得，所以，.

故选A.

3、答案：C

解析：利用整体法得，，

解得，令，，

令，，

所以函数的对称中心有，.

故选：C.

4、答案：B

解析：因为，，，

所以在方向上投影的数量为，

所以在方向上的投影向量的长度为.

5、答案：A

解析：对于B和D项，都有，它们都是偶函数，

而已知函数图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，是非奇非偶函数，则不符合；

当x从0开始，取很小的一段范围时，图象是单调递增的只有A项符合，

C项中的函数是单调递减的，不符合.

故选：A.

6、答案：A

解析：由，可知E为BC中点，所以，

如图所示：

因为，

所以，

所以，

故选：A.

7、答案：D

解析：由题意得分针每分钟转，

则t分钟后转了，

则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为：，

当时，点A在钟表的12点处，此时，

所以，

所以可以取，

此时.

故选：D.

8、答案：B

解析：如图，设，，，，连接AD，BD，则由可知四边形OADB为矩形，则.由，可得，连接CD，则，所以点C在以点D为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为.

9、答案：AD

解析：对A，因为，在单调递增，所以，故A正确；

对B，，，故B错误；

对C，因为，在单调递减，所以，故C错误；

对D，，故D正确.故选：AD.

10、答案：BD

解析：

11、答案：ACD

解析：

12、答案：BC

解析：，，故选项A错误；

，

，故选项B正确；

，

，

即，

解得或，

，

舍去，

，

，

，故选项C正确；

而，故选项D错误.

故选：BC.

13、答案：1

解析：原式.

14、答案：-2

解析：向量与的夹角为，，，

可得，

，

可得，

解得.

故答案为：-2.

15、答案：15

解析：

16、答案：

解析：因为

，(其中，)，

因为，所以，即，解得.

所以，

令，，则，，

所以的对称中心为，，

因为函数在区间上单调，且，则为的对称中心，

所以，，即，，

当时，取得最小值，

所以.

故选：A.

17、

（1）答案：证明见解析

解析：因为，，，

所以

，

所以，共线，

又因为它们有公共点B，

所以A，B，D三点共线；

（2）答案：或

解析：因为和共线，

所以存在实数，使，

所以，

即.

又，是两个不共线的非零向量，

所以，

所以，

所以或.

18、答案：(1)，

(2)1

解析：(1)因为，

所以，则.

因为为第一象限角，所以，

.

(2)由(1)知，

所以，

所以.

19、答案：(1)，

(2)

(3)

解析：(1)已知向量与的夹角，且，，

则，

所以；

(2).

(3)与的夹角的余弦值为.

20、答案：(1)，

(2)

解析：(1).

，，

.

所以函数的单调递增区间是，.

(2)，

，，，，

，

，，

，，，

，

.

21、答案：(1)

(2)实数b的取值范围为

解析：(1)

，

令，则在上的最大值为，

当时，的开口向下，对称轴为，

故当时，即时，在取到最大值，

则，解得或(舍去).

当时，即时，在取到最大值，

则，解得(舍)，

所以.

(2)由(1)可得：，

令，则的开口向下，对称轴为，

故当或时，取到最小值，

故在上的值域，

又，则，故，

设在上的值域为B，

若对任意的，总存在，使得，则，

当时，则，显然不成立，不合题意，舍去；

当时，则，可得，解得；

当时，则，可得，解得；

综上所述：实数b的取值范围为.

22、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)因为

，

所以，函数存在相伴向量，，

所以，与共线的单位向量为或

.

(2)的“相伴函数”，，

因为在处取得最大值，

所以，当，，即，时，有最大值，

所以，，

所以，

因为，，

所以，

所以，

令，则，

因为，均为上的单调递减函数，

所以在上单调递减，

所以，

所以，，

所以，的取值范围为.