中考数学总复习第4讲.特殊三角形之等腰三角形.尖子班.学生版x难点解析与训练

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      等腰？ 定  义示例剖析等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图，是等腰三角形，则①、是该三角形的腰.②是该三角形的底边.③、是该三角形的底角，且.④是该三角形的顶角.      ，等腰三角形的性质：⑴ 两腰相等．⑵ 两底角相等（等边对等角）．⑶ “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．⑷ 是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 是等腰三角形，①若，则， ；②若，则， ；③若，则，.等腰三角形的判定方法：⑴有两条边相等的三角形是等腰三角形．⑵有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 若或，则是等腰三角形.易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况．  【例1】         ⑴ 如图，中，，，则的度数是（     ）A．       B．    C．      D． ⑵ 的一个内角的大小是，且，那么的外角的大小是(      )A．    B．或    C． 或   D． 或⑶如图，内有一点，且，若，，则的大小是（     ）A.     B.     C.      D.     【例2】         ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（     ）A．      B．     C．或     D．无法确定⑵如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为_________．     【例3】         如图1，，、分别平分、．问：⑴ 图1中有几个等腰三角形？⑵ 过点作∥，交于，交于，如图2，图中又增加了几个等腰三角形?⑶ 如图3，若将题中的改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段与、有什么关系?⑷ 如图4，平分，平分外角.∥交于，交于．线段与、有什么关系?⑸ 如图5，、为外角、的平分线，∥交延长线于，交延长线于，线段与、有什么关系?                         【例4】         如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．⑴求证：DE平分∠BDC；⑵若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．                   定  义示例剖析 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．如图△ABC中，则△ABC是等边三角形. 等边三角形的性质：三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于．   如图，是等边三角形，则 等边三角形的判定：⑴三条边都相等的三角形是等边三角形．⑵三个角都相等的三角形是等边三角形．⑶有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 若，则是等边三角形若，则是等边三角形若（或，或），则是等边三角形  【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是的三角形；④有一个角是的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（    ）A．2个    B．3个    C．4个    D．5个【解析】       D. 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形．  【例5】         ⑴如下左图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且AD=CE，BE、CD交于P点，则图中的角共有（    ）A.  6个         B.  5个          C.  4个          D.  3个         ⑵如下右图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（    ）A.         B.      　　C.　　     D.不能确定                  【例6】         数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：⑴特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：       （填“”,“”或“=”）. ⑵特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是：       （填“”,“”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.（请你完成以下解答过程）⑶拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）.        【例7】         是一个钢架，，在其内部添加一些钢管，，，，，…添加的钢管长度都与相等．⑴当添加到第五根钢管时，求的度数．⑵假设、足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?                   
 训练1.             若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，则该三角形的一个底角为(　      )A．     B．    C．或   D．或  训练2.             已知中，，点、在上，且，，求.           训练3.             已知等腰三角形的高与三角形一边的夹角为，求三角形的三个内角．            训练4.             已知如图，在正所在平面上找点使、、同时为等腰三角形，作出这些点．         
 知识模块一 等腰三角形  课后演练 【演练1】   已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底边长．    【演练2】   ，，如果恰好是等腰三角形，试求、的值．    【演练3】   如图，在中，与的角平分线相交于点，过作，交于，交于，若，则线段之长为              ．                         知识模块二 等边三角形  课后演练 【演练4】   在中，如果只给出条件，那么还不能判定是等边三角形，给出下面四种说法：① 如果再加上条件“”，那么是等边三角形；② 如果再加上条件“”，那么是等边三角形；③ 如果再加上条件“是的中点，且”，则是等边三角形；④ 如果再加上条件“、边上的高相等”，那么是等边三角形．其中正确的说法有    （把你认为正确的序号全部填上）．   【演练5】   已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（　　  ）．  A．①②③　　B．①②④　　C．①③④　　D．①②③④