中考数学总复习反比例函数的神奇难点解析与训练

这是一份中考数学总复习反比例函数的神奇难点解析与训练，共12页。试卷主要包含了一道曾经困惑我多时的中考题，探究性质，最常见思想方法，面积比，平行导角度，角度导比例，纯面积推导等内容，欢迎下载使用。
让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，的顶点(，)，双曲线经过点、，当以、、为顶点的三角形与的相似时，则        .    1.常规性解法：   通过设元，例如设(，)，则(，)，再根据条件列方程：  (1)利用、、或列方程；  (2)利用列方程；   (3)利用“一线三等角”模型、和列方程.   实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题  (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：     过点作轴于，连接，直线分别交坐标轴于点、.      则有①∥；         ②，；         ③，.     基于以上这些性质，有如下解法.  (2)我的第一种解法（整体思想）：     由，可得，，即，于是，，……  (3)我一个同事的解法（斜边转直比）：     由，可得，，转为横比，，因此，……  (4)我一个学生的解法（斜等转直等）：     由得，则，……  (5)我的第二种解法（平行导角度）：     由∥得，，于是，……  (6)下面我们要着重解决两件事：     ①上述性质是否永远成立？如何证明？     ②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、.①如图1，若，则          ；②如图2，若，则          ；③如图3，若，则          ，直线与的位置关系是          ，与的大小关系          .                   图1                           图2                             图32.①如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于    点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系.②如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于，轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及线段与的大小关系.    图1                                                              图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线反比例函数()图象交直线于点、，且， 则的值为          .  (1)常规方法（斜长转直长）：，则，可设(，)，则(，)，列方程解决；  (2)口算巧解（斜边转直比）：     由，得，，转为横比得，，则，，…… 2.同类变式题：如图，直线交坐标轴于点、，双曲线交直线于点、.若，则的值为          ；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）  如图，点(，)，，在双曲线上，，分别交，轴于，，  分别交，轴于，.  (1)求的面积；  (2)求证：.     4.原创清新小题和近年的中考题：  (1)如图1，，的面积为，则的值为           .  (2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，.①在运动过程中，的面积是不是定值？答：         ；②若，且是正三角形，则点的坐标为            .  (3)如图3，□中，，，双曲线经过点和中点，则该双曲线的解析式为            .  (4)如图4，直线与分别与双曲线交于点、，，     则的值为         .  图1                   图2                      图3                       图4(5)(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为         .  (6)如图6，双曲线与直线交于点、.     ①(原创、铺垫②)若、，且，则        ；     ②(常州模拟·改编)若，且，则        ；      ③(杭州模拟·改编)若，且，则        .  (7)(据上题改编)如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线的解析式为，交矩形边于，，则          .    图5                           图6                           图7五、面积比、边比互转1.①(原创、铺垫)如图1①，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为          ；  ②(成都)如图1②，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为          .2.(无锡)如图2，轴，∥轴，双曲线过点、，且，已知的面积为，则的值为         .   图1①                       图1②                              图33.(宁波)如图3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点，连接，则的面积为          .4.(丽水)如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点的横坐标为.①用含的式子表示           ；②若与四边形的面积和为，则          .5.如图5，双曲线与直线交于点、.  ①(常州模拟)若，且，则        ；  ②(改编自①)若、，且，则        .    图3                           图4                            图56.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，若双曲线恰好经过点，，且，则         .7.如图7，双曲线过点，，过点，，若，均与轴平行，  ，，且它们之间的距离长为，则        .8.如图8，直线交双曲线于点，，若，则        .     图6                           图7                                  图89.如图，点在双曲线上，轴，，延长线交轴于，若  的面积为，则的值为         .10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的正半轴和负半轴上，，，是的中点，若面积是的倍，则的值为         .    六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例1.如图1，中，，，双曲线经过点、，且点的  纵坐标为，则的值为         .  (1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得.(2)后感：我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究…  (3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线与矩形的边交于点，，若设点的坐标为(，)，且有，，则         .    图1                           图2                           图32.类似题：①(2015临海模拟·填空压轴题)如图， ，，双曲线经过点，双曲线经过点，已知点的纵坐标为，则        ，点的坐标为           .  ②(个人原创)如图2，中，，，双曲线经过点，双曲线经过点，且点的纵坐标为，则的值为         .   3.难题展示（常州·于新华老师原创题）  (1)如图1，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处. 求点的坐标.  (2)如图2，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处. 求点的坐标.       图1                                        图24.如图，矩形的边的解析式为，顶点，在双曲线上.  ①若，则点的坐标为         ；  ②连接，，若是等边三角形，则         .后感：若能发现，本题将更简单！  拓展：如图，正方形的顶点、在双曲线上，、在双曲线上，则正方形的面积为          .  5.(2013湖州模拟) 如图1，矩形的顶点、在双曲线上，若点(，)，则点的坐标为          .6.如图2，矩形中，，点(，)，点，在双曲线上，若为中点，则的值为         .    图1                                             图27.①如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，则点也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为             ；  ②如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，则点也在一条双曲线上运动，若，则该双曲线解析式为             ；  ③如图3，点，在双曲线上运动，以为底作等腰，点在另一双曲线上运动，若，请用，表示             .   图1                            图2                               图3七、平行导角度，角度导比例1.如图，点，在双曲线上，经过原点，过点作∥轴，连接并延长，交双曲线于点.  ①求证：；  ②求的值.       根据本题的发现，改编了一个清新小题：  如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该双曲线于点，分别交轴，轴于点，，若，. 求的值.      2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作交轴于点，连接并延长，交双曲线于点.求的值.     3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、分别交轴于点、. 若设，，则         .     4.如图，，双曲线经过点、、，求证：.       八、纯面积推导1. 如图，点(，)，，在双曲线上，，分别交，轴于，，  分别交，轴于，.  求证：.  (此方法感谢江苏·于新华老师的指导！)      2.(2016菏泽)如图，，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线段与点，求与的面积之差.     后感：①题中条件“，均是等腰直角三角形”可如何改变？        ②写出，，的关系：                .3.(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为         .     4.(常州)如图1，，双曲线经过点、，且，求的值；5.如图2，，双曲线经过点、、，求证：.        图1                                            图2