中考数学总复习巧用因式分解解题难点解析与训练

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巧用因式分解解题 因式分解是数学中一种重要的恒等变形，它的应用十分广泛，变化灵活多样，几乎涉及到数学的各个领域。本文略举数例加以说明。[来源:学&科&网Z&X&X&K]一、   用于计算、求值。例1计算1012－992.解：原式=（101+99）（101－99）=200×2=400。例2已知a+b=3,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值。解：当a+b=3,ab=2时原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=2×32=18。二、   用于解决整除问题。[来源:学&科&网Z&X&X&K]例3           设是一个两位数（a＞b）,则()2－（）2必能被99整除。解：因为=10a+b, =10b+a所以()2－（）2 =(10a+b)2－(10b+a)2=〔(10a+b)+ (10b+a)〕〔(10a+b)－ (10b+a)〕=99(a+b)(a－b)。由于a+b,a－b是整数，故()2－（）2必能被99整除。[来源:学+科+网]三、   用于确定多项式的某些特征。[来源:学科网ZXXK]例4           试说明四个连续整数的积加上1，是一个奇数的平方。解：设这四个连续的整数分别为n,n+1,n+2,n+3,则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=〔n（n+3）〕〔（n+1）（n+2）〕+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2（n2+3n)+1=(n2+3n+1)2。    由于n2+3n+1= n2+n+2n+1=n(n+1)+(2n+1),而n(n+1)是连续两个整数的积，必是偶数；又2n+1是奇数，所以n2+3n+1是奇数。故四个连续整数的积加上1，是一个奇数的平方。四、用于确定多项式的系数。例5  当m为何整数时，二次三项式x2+mx+2能分解成两个一次因式的积。解：因为2=2×1=（－2）×(－1),所以当x2+mx+2=(x+1)(x+2)时，可得m=3；当x2+mx+2=(x－1)(x－2)时，可得m= －3。因此，当m=3，－3时，二次三项式x2+mx+2能分解成两个一次因式的积。五、用于求方程的整数解。例6  求方程x2－y2=29的整数解。解：原方程可化为（x+y）（x－y）=29,而29=29×1=(－29) ×(－1),又x+y,x－y都是整数，故得当x+y=29时,x－y=1此时x=15,y=14；当 x+y=－29时,x－y=－1, 此时x=－15,y=－14；当 x+y=1时,x－y=29 ,此时x=15,y=－14；当x+y=－1时,x－y=－29, 此时x=－15,y=14。六、用于几何说理例7  已知a、b、c分别是的三边长，且，试说明是等腰三角形。解：由，得所以。因a、b、c分别是的三边长，所以，所以，即。所以是等腰三角形。   巧用“借术”分解因式 有一次学生遇到了一道难题，把分解因式，讨论未果后，学生拿来问我。我看后笑着对学生说：“我先给你们讲一个阿拉伯民间流传的故事”。一个老牧民有19匹马。临终前对他的三个儿子说：“我死后，你们要按‘老大得一半，老二得四分之一，老三得五分之一’的比例把马分了，但不能把马杀了来分”。不久，这位老人就见“真主”去了。这三个兄弟想尽了各种办法，总是不能按老人的遗愿把马分了。无奈，他们只好去请问他们聪明的舅舅。舅舅想了一会儿，就把自己的那一匹马拉去，添加到这兄弟的19匹马中，刚好一共20匹马，然后，再按老人的分马办法来分。于是，很容易的得出：老大得10匹，老二得5匹，老三得4匹，最后，剩下的一匹马物归原主，由舅舅拉回。这则故事所寓意的道理，反映在数学上就叫“借术”。同学们，我们可否用数学上的“借术”思想来分解此因式？有同学马上就能想到“借式还式”，立即有人写出解题过程如下：     （借式还式）     =     =其它同学也都恍然大悟，这样，学生既聆听了故事，也培养了思维能力，打开了解题的思路，生动有趣地掌握了一种数学解题技巧——“借术”。类似的例子还有：1、求（2+1）（22+1）（+1）……（+1）的值？解析：学生如用一般方法进行乘积计算，算了半天还怀疑自己有否算错。用“借”与“还”的方法，利用平方差借一个（2－1）来乘(实际上是乘一个1，并未改变原式的值)，这样马上可算出它的乘积值为－1。[来源:Zxxk.Com]2、已知X－Y＝3，Y－Z＝2，求X2＋Y2＋Z2－XY－YZ－XZ的值？解析：这道题学生一般会考虑采用代入法求，但怎样使式子中出现x-y,y-z,x-z呢?这时，如果采用“借”与“还”法，那么就十分简单了，先乘以2(借个2)，再除以2(还个2)，原式＝［（X－Y）2＋（Y－Z）2＋（X－Z）2］÷2＝（9＋4＋25）÷2＝19。为巩固学生用“借”与“还”方法解题，可再一个例子，供同学们课余练习：把多项式分解因式。练习答案：