中考数学总复习全等三角形辅助线方法难点解析与训练

这是一份中考数学总复习全等三角形辅助线方法难点解析与训练，共14页。试卷主要包含了倍长中线造全等，截长补短，平移变换，旋转，构造全等等内容，欢迎下载使用。
全等三角形辅助线常见辅助线的作法有以下几种：1)           遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)           遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)           遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)           过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)           截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.    2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.  3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.中考应用（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是               ，线段AM与DE的数量关系是             ；（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．  二、截长补短1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC    2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD        3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP       4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：                     5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC     6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．   中考应用：（08海淀一模）     三.借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD      2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.     中考应用:（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。           四、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.     2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.五、旋转1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.            2：D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）         当绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。          3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为          ；            中考应用：（07佳木斯）已知四边形中，，，，：，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．（1）当绕点旋转到时（如图1），易证．（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．                 （09崇文一模）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1                  图2                        图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是                ； 此时          ；                                                                                                        （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=            （用、L表示）．六、构造全等例1： 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．    2．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图9所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC平分∠AOB．你能说明道理吗？                          图9    3．如图10，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．       图10     4．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．                图15     5． 已知：△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．    说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形：①过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED． ②以角的平分线为对称轴构造对称图形例6： 如图23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．         分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例7： 如图24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．         分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．                                     图25例11 如图26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．求证：CD=BE．        练习：1．如图27，在△ABC中，∠B=90º，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，DE=DC．求证：BE=CF．                                  2．已知：如图28，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB=AC．       图28   3．在△ABC中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．求证：AB+BP=BQ+AQ．                         图29   4．如图30，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B．                        图30    5．如图31，E为△ABC的∠A的平分线AD上一点，AB＞AC．求证：AB-AC＞EB-EC．                图31 6．如图32，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC． 求证：∠A+∠C=180º．    7．如图33所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB．                          8．已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=AE．                    9．△ABC中，AB=AC，∠A=100º，BD是∠B的平分线．求证：AD+BD=BC．                 10．如图36，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　）A．9   B．8   C．7   D．6                     图36    11．如图37，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．求证：AB=AC．                           图37    12．已知：如图38，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F．求证：BM=CF．                                 1.（2010年河南中考模拟题3）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：（１）△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；（２）△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；（４）ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是（　　　）A．（2）（4）       B．（1）(4)    C．(2) (3)        D．(1) (3)2.（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为          ．3.（2010年中考模拟2）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P .（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论 .4.（2010年北京市中考模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC  5．（2010年赤峰市中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线.   6.（10年广州市中考六模）、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：(1)求证：∠EAF = 45o ; (2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由.   7.（2010年天水模拟）如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E ，已知DC=2，求BE的长。   8．（2010年广州中考数学模拟试题(四)）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E.(1)∠DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；[来源:学。科。网](2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 9.（2010年河南中考模拟题2）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。（1）求证：AB⊥ED。（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。       10.（2010年河南中考模拟题6）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D为AB边上一点。求证：（1）△ACE≌△BCD；  （2）。      11．（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.