中考数学总复习相似三角形与圆的综合题难点解析与训练

这是一份中考数学总复习相似三角形与圆的综合题难点解析与训练，共24页。试卷主要包含了已知，如图，AB，如是⊙O的直径，CB等内容，欢迎下载使用。

2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
(1)求证：DE为⊙O的切线．
(2)求证：AB：AC=BF：DF．
3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．
(1)求证：∠ADE=∠B；
(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．
4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
(1)直接写出AE与BC的位置关系；
(2)求证：△BCG∽△ACE；
(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．
5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？
(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．
6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？
(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．
7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．
8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥
AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。
求证：(1)EF是⊙O的切线；
(2)△OBF∽△DEC。
9、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O
切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的长．
10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若，求的值；
(3)在(2)的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积．
11、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．
求证：
(1)DE为⊙O的切线．
(2)AB•DF=AC•BF．
12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积．
13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。
(1)求证：CE2=FG·FB；
(2)若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径。
14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.
求证：①AE∥BD； ②AD 2 = DF·AE
15、已知：□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点.
求证：ET = ED
16、如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D.
求证：（1） ∠DAC = 2∠B；
（2） CA 2 = CD·CO

相似三角形与圆的综合考题（教师版）
1、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．
求证：BG•AG=DF•DA．
证明：连接BC，FC，CO，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴∠DCF=∠CAD，
∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴=，
∴CD2=AD×DF，
∵CG⊥AB，AB为直径，
∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，
∴∠GBC=∠ACG，
∴△BGC∽△CGA，
∴=， ∴CG2=BG×AG，
∵过E作⊙O的切线ED，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
在△AGC和△ADC中，
，
∴△AGC≌△ADC（AAS），
∴CG=CD，
∴BG×AG=AD×DF．
2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
(1)求证：DE为⊙O的切线．
(2)求证：AB：AC=BF：DF．
3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．
(1)求证：∠ADE=∠B；
(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．
解：（1）方法一：
证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
∴∠ADE=∠B．
方法二：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADB=∠DEA，
∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．
∴△DAE∽△BAD．
∴∠ADE=∠B．
（2）证明：∵OF∥AD，
∴∠F=∠ADE．
又∵∠DEA=∠FDO（已证），
∴△FDO∽△DEA．
∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE．
点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明．
4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，
BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
(1)直接写出AE与BC的位置关系；
(2)求证：△BCG∽△ACE；
(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．
解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴AE⊥BC．
（2）如图1，
∵BF与⊙O相切，
∴∠ABF=90°．
∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．
∵∠BAF=2∠CBF．
∴∠BAF=2∠BAE．
∴∠BAE=∠CAE．
∴∠CBF=∠CAE．
∵CG⊥BF，AE⊥BC，
∴∠CGB=∠AEC=90°．
∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，
∴△BCG∽△ACE．
（3）连接BD，如图2所示．
∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，
∴tan∠F==CG=tan60°=
∵CG=，
∴CD=．
∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，
∴∠BAF=30°．
∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，
∴AB=2BD．
∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，
∴∠ABE=∠ACE．
∴AB=AC．
设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．
∵∠ADB=90°，
∴AD=r．
∴DC=AC-AD=2r-r=（2-）r=．
∴r=2+3．
∴⊙O的半径长为2+3．
解析：
（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直．
（2）易证∠CBF=∠BAE，再结合条件∠BAF=2∠CBF就可证到∠CBF=∠CAE，易证∠CGB=∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE．
（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=；连接BD，容易证到∠DBC=∠CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，∠BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出⊙O的半径长．
5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？
(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．
分析：（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．
解答：（1）证明：连接OC．
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：
连接AE．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD2=DE•DF．
（3）解：连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH===2．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，
，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．
6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？
(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．
（1）证明：连接OC．
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：
连接AE．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD2=DE•DF．
（3）解：连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH===2．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，
，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4．
解析：
（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。
7、如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．
证明：（1）连接OD，OE，
∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点，
∴∠ODE=90°，CD=CE，
∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，
∴AE=DE，
∵OD=OA，OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥DF∥BC，
∴△BMF∽△BEA，
∴，
∴，
∴
∵△EDM∽△ECB，
∴，
∴，
∴DM=MF．
解析：
（1）首先连接OD，OE，由CB、CD分别切⊙O于B、D两点，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得△ODE≌△OAE，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）首先易证得AE∥DF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF．
8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥
AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。
求证：(1)EF是⊙O的切线；
(2)△OBF∽△DEC。
证明：（1）连结OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB，
又∵CD=BD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，∠ODE=90°，
∵点D是⊙O上一点，
∴EF是⊙O的切线。
（2）∵BF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠BFO=∠DFO，FB=FD，
∴OF⊥BD，
∵∠FDB=∠CDE，
∴∠OFD=∠C，
∴∠C=∠OFB，
又∵∠CED=∠FBO=90°，
∴△OBF∽△DEC。
9、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O
切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的长．
解：（1）连结CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，
∴△OCE≌△OBE（SAS ）
∴∠OCE＝∠OBE，
又CE是切线，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE与⊙O相切
（2）备用图中，作DH⊥OB于H，H为垂足，
∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝，∴OD＝4，
同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，OH＝
又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH，
∴FB＝
考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。
点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。
10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若，求的值；
(3)在(2)的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积．
试题分析：
（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；
（2）先由（1）得OD∥AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案；
（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.
（1）连接OD
因为OA =" OD"
所以∠OAD = ∠ODA
又已知∠OAD = ∠DAE
可得∠ODA = ∠DAE ，
所以OD‖AC ，
又已知DE⊥AC
可得DE⊥OD
所以DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得OD∥AE，
（3）
考点：圆的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
11、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．
求证：
(1)DE为⊙O的切线．
(2)AB•DF=AC•BF．
证明：（1）如图，连接OD、AD．
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠CDA=90°．
又∵E是边AC的中点，
∴DE=AE=AC，
∴∠1=∠4，
∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．
又∵AB是⊙O的直径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠3=∠C（同角的余角相等）．
又∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴
易证△FAD∽△FDB，
∴，
∴，
∴AB•DF=AC•BF．
解析：
（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，点E为AC中点，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定即可；
（2）证△ABD∽△CAD，推出，再证△FAD∽△FDB，推出，得，即可得出AB•DF=AC•BF．
12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ODF=∠DEA=90°，
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）∵AB为⊙O的直径，DE⊥AC，
∴∠BDA=∠DEA=90°，
∵∠BAD=∠CAD，
∴△BAD∽△DAE，
∴，
即，
∴AD=2，
∴cs∠BAD=，
∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，
∴BD=AB=2，
∴S△BOD=S△ABD=××2×2=，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD=
解析：
（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△BAD∽△DAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面积，相减即可．
13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。
(1)求证：CE2=FG·FB；
(2)若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径。
解：（1）证明：连结AC，
∵AB为直径，∠ACB=90°，
∵，且AB是直径，
∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高，
∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，CF2=FG·FB，
∴∠FCB=∠ECB，
∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，
∴△BCF≌△BCE，
∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，
∴CE2=FG·FB；
（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CBF，
∴tan∠CBF=tan∠ACE==，
∵AE=3，
∴CE=6，
在Rt△ABC中，CE是高，
∴CE2=AE·EB，即62=3EB，
∴EB=12，
∴⊙O的直径为：12+3=15。
14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.
求证：①AE∥BD； ②AD 2 = DF·AE
证明：①∵AE为圆的切线，
∴∠EAB=∠ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角），
∵CA为∠BCD的平分线，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠EAB=∠ABD，
∴AE∥BD；
②∵AE∥BD，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠AEC=∠DAC，
∵∠EAB=∠ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角），
∴△ABE∽△DFA，
∴
∵∠ACE=∠ACD，
∴
∴AD=AB，
则AD•AB=AD2=AE•DF．
15、已知：□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点.
求证：ET = ED
证明：因为四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠EAD=∠ECF
∠EDA=∠EFC
∴△AED∽△CEF(AA)
∴
∵AB平行DC
∴∠EAG=∠ECD
∠G=∠EDC
∴△AEG∽△CED（AA)
∴
∴
∵ET与⊙O相切于点T
∴
∴
∴
16、如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D.
求证：
（1） ∠DAC = 2∠B；
（2） CA 2 = CD·CO
证明：（1）如图,由已知△ABC中,AB=AC
得 △ABC为等腰三角形,∠B=∠ACB
外角∠1=∠B+∠ACB=2∠B
又由已知O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A
得△OAB为等腰三角形,∠B=∠OAB,OA⊥AC
外角∠2=∠B+∠OAB=2∠B
∠OAC=90°即∠1=∠2，△OAC为直角三角形
由已知过C作CD⊥BA的延长线于D，得∠ADC=90°，△ADC为直角三角形
在直角三角形△OAC和△ADC中
∠1=∠2,∠OAC=∠ADC=90°
∴△OAC∽△ADC
则CA/CO=CD/CA，即∴CA²=CD·CO