广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）数学试卷（含答案）

广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知i为虚数单位，若，则实数(   )

A.1 B.-1 C.2 D.-2

2、已知R为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(   )

A. B. C. D.

3、小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码(   )

A.16 B.24 C.166 D.180

4、在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，，则(   )

A. B. C. D.

5、元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯.下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为(   )

A. B. C. D.

6、已知F为抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则(   )

A.1 B.4 C.8 D.16

7、已知，，，则(   )

A. B. C. D.

8、已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则(   )

A.13 B.16 C.25 D.51

二、多项选择题

9、某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：

由表中数据制作成如下所示的散点图：

由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为.则以下结论中正确的有(   )

A. B. C. D.

10、在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有(   )

A.平面

B.EF与所成的角为30°

C.平面

D.平面截正方体的截面面积为

11、已知，函数，下列选项正确的有(   )

A.若的最小正周期，则

B.当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象

C.若在区间上单调递增，则的取值范围是

D.若在区间上只有一个零点，则的取值范围是

12、已知，分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有(   )

A.

B.

C.

D.若，且，则双曲线C的离心率

三、填空题

13、已知为等差数列的前n项和，若，，则_________.

14、_________.

15、若函数存在两个极值点，，且，则_________.

16、已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则_________；除以17的余数是_________.

四、解答题

17、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)若的面积为，，求a.

18、已知，为数列的前n项和，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列的前n项和为，证明：.

19、如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，，.

(1)证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；

(2)求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值.

20、某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位：cm)，经统计得到下面的频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差.(用每组的中点代表该组的均值)

(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值.

i.为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：

利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备.

ii.若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望.

参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率.

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，.

21、已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，的周长为8.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过且与l垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.

22、已知函数.

(1)证明：函数只有一个零点；

(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：由，得，所以.故选A.

2、答案：C

解析：图中阴影部分表示，由，得或，所以，由，解得，所以，故，故选C.

3、答案：B

解析：将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有(种)不同的结果，故选B.

4、答案：D

解析：因为，

所以，故选D.

5、答案：C

解析：由题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的两个底面积分别为，，所以花灯的体积，故选C.

6、答案：B

解析：由题可知，设直线l的方程为，，.由得，故.又，，所以.圆的圆心为，半径，所以，.又，，所以，，所以，故选B.

7、答案：A

解析：因为，，，，所以，故.又，所以，所以.故选A.

8、答案：C

解析：由，令，得，所以.

由为奇函数，得，所以，

故①.

又②，

由①和②得，即，

所以，③

令，得，得，

令，得，得.

又④，

由③-④得，即，

所以函数是以8为周期的周期函数，

故，

所以，

所以

.故选C.

9、答案：AC

解析：因为离群点的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以，，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以，，所以C正确，D错误.故选AC.

10、答案：ABD

解析：如图1，设点M为棱的中点，则，所以四边形为平行四边形，

又，平面，平面，所以平面，故A正确；

由上可知，四边形为平面截正方体的截口平面，

易得，故四边形为菱形，

又其对角线，，故其面积为，故D正确；

设的中点为N，连接EN，FN.因为E，N分别为BC与的中点，所以，

故为EF与所成的角，又，，

由余弦定理可得，

所以EF与所成的角为，故B正确；

如图2，假设平面正确，则，

又，，所以平面，得.

在正方形中，，显然不成立，所以假设错误，

即平面错误，故C错误.故选ABD.

11、答案：ACD

解析：由，得，所以A正确；

当时，，所以函数的图象向右平移个单位长度后得

，所以B错误；

若在区间上单调递增，则，

解得，，

又，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；

若在区间上只有一个零点，则解得，所以D正确.故选ACD.

12、答案：AB

解析：由，得，所以，

则在点处的切线斜率为，

所以在点处的切线方程为，

又有，化简即可得切线方程为，

所以，所以，故C错误；

由，得，又，所以，故A正确；

由，，，得，，

故，

由，得，

所以，

所以，

所以，

设点A到x轴的距离为h，

则，

，

，

又，所以，故B正确；

由上可得，，

因为，则，得，

，，

所以，

解得，故D错误，故选AB.

13、答案：-16

解析：因为，所以，又，所以，，

所以，所以.

14、答案：

解析：.

15、答案：

解析：因为，定义域为R，所以，

故，；又，所以.

又，

故，所以，所以.

16、答案：；0

解析：由题意，，

所以

又为正整数，

所以除以17的余数为0.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)由，

所以，故.

由正弦定理得.

又，

所以，

故，所以，

所以，所以.

(2)由题意，，所以.

由余弦定理可得，

所以.

18、答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：(1)证明：因为，所以，.

由，得，，

所以，，

所以，，故，，

所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)得，

故，

所以

.

19、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)证明：如图，过点B在平面ABCD内作BO垂直于AD，交DA的延长线于点O，连接OP.

因为，，所以.

又，PB，平面POB，，所以平面POB.

又平面POB，所以，即.

因为，，所以，

又，所以，故.

因为为等边三角形，所以.

又，所以.

又，所以.

又OA，平面ABCD，，所以平面ABCD，

所以点O为点P在平面ABCD的正投影，

又点O在直线AD上，故点P在平面ABCD的正投影在直线AD上.

(2)解：由(1)得PO，OB，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

易得.又，

所以，，，，

故，，.

设为平面PBC的法向量，则有

即可取.

设为平面PDC的法向量，则有

即可取，

所以，

所以平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为.

20、答案：(1)，

(2)i.需停止生产并检查设备

ii.，X的数学期望为0.027

解析：(1)由频率分布直方图，得.

.

(2)i.由(1)可知，，

所以，，

显然，故需停止生产并检查设备.

ii.抽测一个零件关键指标在之内的概率为，所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，

故，所以，

X的数学期望.

21、答案：(1)

(2)四边形ACBD面积的最小值为

解析：(1)由题意得.

由椭圆的定义可知，所以，所以.

又，所以，

所以椭圆E的标准方程为.

(2)设，，直线l的方程为，

由整理得，

则有，，

故，

直线的方程为，设，，

由整理得，

则有，，

则，

所以四边形ACBD的面积

，

，当且仅当时，等号成立，

所以，

综上，四边形ACBD面积的最小值为.

22、答案：(1)证明见解析

(2)a的取值范围为

解析：(1)证明：，

当时，，，所以，

故，故在区间上无零点.

当时，，

，，所以，

所以当时，函数单调递增，所以，

故函数在区间上有唯一零点0.

综上，函数在定义域上有唯一零点.

(2)解：由，得，

即.

设，则，

则.

设，则，当时，，

所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，

即在区间上.

设函数，则，所以函数在区间上单调递增故，

在区间上，即在区间上，，

所以在区间上，，即，

所以在区间上函数单调递增.

当时，，故在区间上函数，

所以函数在区间上单调递增.

又，故，即函数在区间上恒成立.

当时，

，

，

在区间上函数存在零点.

又在区间上函数单调递增，

故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减.

又，所以在区间上函数，与题设矛盾.

综上，a的取值范围为.