江西省吉安市2023届高三高考模拟（一模）文科数学试题(含解析）

江西省吉安市2023届高三高考模拟（一模）文科数学试题

一、单选题

1．（2023·江西吉安·统考一模）已知全集.设集合,则(   )

A． B．或

C．或 D．

2．（2023·江西吉安·统考一模）已知为实数，复数为纯虚数（其中是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·江西吉安·统考一模）《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）.”若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布（    ）

A．七尺五寸 B．八尺 C．八尺五寸 D．九尺

5．（2023·江西吉安·统考一模）作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：

已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%．则下列说法中，正确的是（    ）

A．

B．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元

C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为

D．这100份花费费用的中位数是4205元

6．（2023·江西吉安·统考一模）在正方体中，E､F分别为的中点，G为线段上的动点，则异面直线与所成角的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数，若函数在区间上无零点，则正数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2023·江西吉安·统考一模）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2023·江西吉安·统考一模）已知A为双曲线的左顶点,为C的右焦点,过点A的直线与圆相切,且直线交C于点B,设,则为(    )

A． B． C． D．

10．（2023·江西吉安·统考一模）已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·江西吉安·统考一模）已知,则(    )

A． B． C． D．

12．（2023·江西吉安·统考一模）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A．数列不可能为等差数列 B．对任意正数t，是递增数列

C．若，则 D．若，数列的前n项和为，则

二、填空题

13．（2023·江西吉安·统考一模）已知向量、的夹角为，，，则的坐标为___________.

14．（2023·江西吉安·统考一模）已知，则___________.

15．（2023·江西吉安·统考一模）已知点O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，且点A，P，B的纵坐标成等比数列，则P点的坐标为___________.

16．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数的定义域为,其导函数为,若函数为偶函数,函数为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.

①函数关于轴对称;

②函数关于中心对称;

③若,则;

④若当时,,则当时,.

三、解答题

17．（2023·江西吉安·统考一模）在底面为矩形的四棱锥中，底面，M为边上的动点，的最大值为.

(1)求；

(2)当取最大值时，求点M到平面的距离.

18．（2023·江西吉安·统考一模）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边上一点，且满足.

(1)若，求C；

(2)求的值.

19．（2023·江西吉安·统考一模）党的二十大报告提出，要推进健康中国建设，把保障人民健康放在优先发展的战略位置，完善人民健康促进政策.《国务院关于印发全民健身计划（—年）的通知》中指出，深入实施健康中国战略和全民健身国家战略，加快体育强国建设，构建更高水平的全民健身公共服务体系，充分发挥全民健身在提高人民健康水平､促进人的全面发展､推动经济社会发展､展示国家文化软实力等方面的综合价值与多元功能.如图为年~年（年的年份序号为）我国健身人数（百万人）变化情况的折线图：

统计学中的样本点具有二重性，样本是可以观测的随机变量，本题将和视为两个随机变量且以上数据图中的每个样本点的产生的概率都是，已知，其中表示的平均数.

参考数据及公式：.和两个随机变量之间的皮尔逊相关系数为，线性回归方程中，.

(1)求回归方程的皮尔逊相关系数（保留位有效数字）；

(2)求关于的回归方程.

20．（2023·江西吉安·统考一模）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设椭圆以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点，直线交于两点（均不在坐标轴上），若的面积为，求的值.

21．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数，的导函数为.记函数在区间内的零点为，.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：.

22．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系中,M的参数方程为(为参数),直线.

(1)求M的普通方程;

(2)若D为M上一动点,求D到l距离的取值范围.

23．（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：

(1)；

(2)．

参考答案：

1．D

【分析】根据已知分别求出集合,再根据补集和并集的定义求解即可.

【详解】由不等式,

解得,

∴或;

由不等式,

解得或,

∴.

故选:D.

2．B

【分析】利用复数除法运算化简复数，由纯虚数定义可构造方程组求得结果.

【详解】为纯虚数，

，解得：.

故选：B.

3．C

【分析】根据函数图象关于原点对称可知原函数为奇函数，利用奇偶性可排除D，结合函数定义域为可排除B；利用函数单调性可排除A，由此可得正确选项.

【详解】对于A，，

又的定义域为，

为上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；

当时，为增函数，为增函数，又在上单调递增，

由复合函数单调性可知：在上单调递增，

又，

在上单调递减，与已知图象不符，A错误；

对于B，由得：，的定义域为，与已知图象不符，B错误；

对于D，，

不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误.

故选：C.

4．D

【分析】利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差，进而得到即可.

【详解】由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为，其前项和为，则，，

，，

数列的公差，，

即该女子第二十日织布九尺.

故选：D.

5．C

【分析】由频率和为1列方程判断A；求出该病人在医院住院报销金额判断B；根据样本中可报销80%的占比为0.15判断C；根据样本中消费费用小于4000的直方图的面积判断D．

【详解】由频率分布直方图得

，

解得，故A错误；

该病人在医院住院消费了4300元，报销金额为元，

所以此人实际花费为元，故B错误；

样本中可报销80%的占比为0.15，所以该医院可报销为80%的概率为，故C正确；

样本中消费费用小于4000的直方图的面积为

，所以中位数在内，

所以消费费用的中位数的估计值为元，故D错误．

故选：C．

6．C

【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，利用向量法写出两直线夹角余弦的表达式，再利用二次函数的性质即可求出最值.

【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，，

分别为中点，则，，，

故，，

设两异面直线夹角为，其中，

故，

，则当或时，取得最小值，最小值为，

又因为在上为单调减函数，则的最大值为.

故选：C.

7．D

【分析】由的范围可得的范围，根据函数无零点可构造不等式组求得的范围（含整数），根据大小关系和为正数可确定的取值，进而得到的准确范围.

【详解】，

当时，，

在上无零点，，

解得，令，解得，

又，，解得，，又，或；

当时，；当时，，

正数的取值范围为.

故选：D.

8．A

【分析】根据直线所过定点和可知，由此可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法可求得，结合向量数量积的运算律可求得的最小值.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

由得：，恒过定点；

由得：，恒过定点；

由直线方程可知：，，即，

设，则，，

，整理可得：，

即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又直线斜率存在，点轨迹不包含；

若点为弦的中点，则，位置关系如图：

连接，

由知：，

则，

（当在处取等号），

即的最小值为.

故选：A.

9．A

【分析】画出图像，根据条件解两个三角形即可.

【详解】

设切点为点,在Rt中,,所以，

在Rt中,,即.

故选:A

10．A

【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点的轨迹在以AF为直径的圆上,即可确定点到底面ABC距离的最大值,最后利用体积公式求解即可.

【详解】外接球的表面积为，可得外接球半径为.

因为正三棱柱的底面边长，

所以,所以的外接圆半径为，

设三棱柱的侧棱长为h，则有，即侧棱，

设BC的中点为F，作出截面如图所示，

因为，,所以，所以点E在以AF为直径的圆上，

当点E在的中点时，此时点到底面ABC距离的最大，且最大值为，

因为，所以此时点P在线段上，符合条件，

所以三棱锥的体积的最大值为．

故选：A．

11．A

【分析】换底，利用基本不等式和放缩比较大小.

【详解】因为，

所以，

因为,所以，

，所以,即，

所以.

故选：A

12．D

【分析】若为常数列1，1，1，…，此时，由此可判断A；若存在正数t使得为递增数列，则，显然当时就不成立，由此判断B；，结合基本不等式可判断C；当时，，满足题意；当时，由可得，则，，结合等比数列求和公式求解可判断D.

【详解】对于A，若为常数列1，1，1，…，此时，故数列可以是等差数列，故A错误；

对于B，由，∴，

若存在正数t使得为递增数列，则，显然当时不成立，故B错误；

对于C，已知，显然数列各项均为正数，故，当且仅当时，等号成立，

又；时，，不满足取等条件，则，即，故C错误；

对于D，当时，，满足题意；

当时，由选项C知，累乘可得，∴，

∴，满足题意，故D正确.

故选：D.

13．或

【分析】设，利用平面向量数量积的定义、坐标运算以及向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.

【详解】设，则，

由题意可得，解得或，

所以，或.

故答案为：或.

14．##

【分析】利用诱导公式化简已知等式求得，对所求式子再次利用诱导公式和二倍角余弦公式即可求得结果.

【详解】，，

.

故答案为：.

15．

【分析】直线与抛物线联立，算出纵坐标之积即可获解.

【详解】设点，

联立得，

，即，

∴，

∵点A，P，B的纵坐标成等比数列，

∴，

∴P的坐标为.

故答案为：

16．①③④

【分析】根据偶函数的定义以及原函数与导函数的对称关系得出轴对称和中心对称，再得出周期，再综合利用得出的性质求解.

【详解】由于函数为偶函数,则②,则函数关于轴对称,①正确;

进而函数关于点中心对称,

由于函数为偶函数,则,则函数关于轴对称,

进而函数关于中心对称, ②错误;

由题可得函数的周期为，

的周期为，

故，

由中心对称性，

所以，

所以,故,③正确;

当时,，

,④正确.

故答案为：①③④

【点睛】结论点睛：若是可导的奇函数,则是偶函数；若是可导的偶函数,则是奇函数.

17．(1)

(2)

【分析】（1）设，根据求出表达式，再根据的最大值为可得的最小值为，由此即可得解；

（2）先根据线面垂直的性质可得，再证明平面，可得，再利用等体积法求解即可.

【详解】（1）设，

则

，

∵的最大值为，

∴当时，取得最小值0，即，

故，即；

（2）由（1）得，当取最大值时，M为中点，

因为底面，面，

所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，

，

设M到平面的距离为d，

，

由，得，解得，

即M到平面的距离为.

18．(1)

(2)

【分析】(1)由条件可知AD是 的角平分线，据此作恒等变换求出C；

(2)根据 ，再运用余弦定理求解.

【详解】（1）

的面积， 的面积  ，

，又与同高， ，

由条件知： 或 (舍)，

即AD是是 的角平分线，设 ，则 ，显然 是锐角，

条件 ， ，

即 ，

  ；

（2）由题意可得：，

即

整理得：

∵，∴，

∴，

故；

综上， .

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据折线图可求得计算皮尔逊相关系数所需的数据，代入公式即可；

（2）根据最小二乘法直接求解即可.

【详解】（1）由折线图可得：，，，，，

.

（2）设线性回归方程为，

则，

，

关于的回归方程为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据渐近线斜率、向量线性运算和双曲线关系可求得双曲线方程；

（2）由（1）可得椭圆方程，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用，结合韦达定理的结论可化简整理得到结果.

【详解】（1）双曲线的一条渐近线倾斜角为，，；

，，，

解得：，，双曲线的标准方程为：.

（2）由（1）知：椭圆的焦点为，；顶点为，，

椭圆的方程为：；

设，

由得：，

则，即，

，，

设与轴交于点，则，

，

，即，，

整理可得：.

【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出所求三角形的面积.

21．(1)在上单调递减；在，上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）根据正切函数定义域可得定义域，求导后，根据的正负可确定的单调性；

（2）当时，可知恒成立，函数无零点；当时，利用零点存在定理可说明，由此可得的范围，结合函数单调性，通过分析法可知只需证明即可，结合可证得结论.

【详解】（1）的定义域为，；

当时，；当时，；

在上单调递减；在，上单调递增.

（2）①当时，，恒成立，此时无零点；

②当时，由（1）知：在上单调递增，

，，

存在唯一，使得；

，，，

又在上单调递增，

要证，即证，只需证，

又，则只需证；

，，

，

得证.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和函数零点的问题，本题证明与零点有关的不等式的关键是能够利用零点存在定理说明零点所在的范围，从而通过分析法将问题转化为证明的问题.

22．(1)

(2)

【分析】（1）直接消参即可；

（2）写出直线的普通方程，用参数方程设点D，再用点到直线的距离公式，转化为三角函数求取值范围的问题.

【详解】（1）由得的普通方程为.

（2）直线即，

由得直线的普通方程为，

设，

则，

其中，

因为,所以，

所以到距离的取值范围为.

23．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；

（2）构造基本不等式即可证明.

【详解】（1）证明：由柯西不等式可得，

当且仅当时取等号．

即，则原式成立；

（2）证明：

．

当且仅当时取等号.