2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为是全称量词命题，

所以其否定为存在量词命题，即，

故选：C

2．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据焦点在x轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.

【详解】根据双曲线的渐近线方程：，

知：的渐近线方程为.

故选：C.

3．抛物线的准线方程是，则实数a的值（    ）

A． B． C．8 D．-8

【答案】A

【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故选：A

4．已知向量，且与互相垂直，则（　　）

A．－ B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出的坐标，再利用列方程求解即可.

【详解】，

，

又，

，

解得.

故选：D.

5．若椭圆的焦距为2 ，则离心率是（    ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【分析】根据椭圆标准方程分情况讨论与6的关系，然后求解离心率即可.

【详解】由题意知：

当时，焦点在轴上，此时，

当时，焦点在轴上，满足题意，此时

故选：B

6．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．

【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．

7．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝（    ）

A．2 B．4

C．6 D．8

【答案】B

【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b的关系，结合已知焦距，可求得b的值.

【详解】由的方程可知其渐近线斜率为,

的渐近线斜率为,

由于它们有相同的渐近线，∴，

C2的焦距，

又

，，

故选B.

【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的的平方关系为,椭圆的a,b,c的关系为,一定要准确掌握.

8．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦函数性质、基本不等式判断已知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假.

【详解】由余弦函数性质知：为真，

又，当且仅当时等号成立，故为假，

所以为假，为真，

综上，为假，为假，为真，为假.

故选：C

9．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的中点到轴的距离是（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】解：由题意得，，则，

所以，由抛物线的定义得点到准线的距离为，

所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入抛物线方程得，，

所以的中点坐标为，到轴的距离是.

故选：C

10．已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点.则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，

所以有，

因此， ，

设异面直线与所成角为 ，

所以.

故选：C

【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与双曲线的右支交于点P，与其中一条渐近线交于点M，且有，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】写出直线方程，求出它与一条渐近线的交点的坐标，由可求得点坐标，代入双曲线方程后得的等式，可求得，得渐近线方程．

【详解】由题意，直线方程为，渐近线方程为，

若在渐近线上，

由解得，即，

设，∵，∴，解得，，

∵在双曲线上，∴，∴，化简得，，∴渐近线方程为．

若在渐近线上，

由解得，即，

设，∵，∴，解得，，

∵在双曲线上，∴，∴，

化简得，无解．

综上，渐近线方程为．

故选：A．

【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是列出关于的等式，然后化简求出即可，解题方法是坐标代入法：由直线方程与渐近线方程列方程组解得坐标，根据向量共线的坐标表示求出点坐标，点坐标代入双曲线方程可得关于的等式．

12．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（    ）

①曲线C关于原点对称

②曲线C上满足的P有且只有一个

③动点P到定点，距离之和的最小值为2a

④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据题意求得曲线C的轨迹方程，对于①，利用替换方程中的即可判断；对于②，由推得，代入曲线C方程求解即可判断；对于③利用基本不等式即可判断；对于④，先判断得直线与曲线C必有一个公共点，再将代入曲线C方程得到无非零解方程，从而得以判断.

【详解】设，则根据双纽线的定义有，

故，即曲线C的轨迹方程为.

①：用替换方程中的，原方程不变，

所以曲线C关于原点中心对称，故①正确；

②：若曲线C上点P满足，则点P在的垂直平分线，即y轴上，故，

代入曲线C方程得，解得，所以这样的点仅有一个，故②正确；

③：因为，当且仅当时，等号成立，

所以，故③正确；

④：易知直线与曲线C一定有公共点，

若直线与曲线C只有一个交点，

将代入曲线C方程中，方程无非零解，

则，解得或，故④正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程为，再根据方程分析判断各说法即可.

二、填空题

13．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是___________.

【答案】20

【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.

【详解】椭圆,所以，

得，则椭圆的右焦点为，

所以直线经过椭圆的右焦点，

由椭圆的定义可知，的周长为

.

故答案为：20.

14．已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为______________.

【答案】5

【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.

【详解】抛物线的准线方程为，

根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离，

即的最小值为.

故答案为：

15．已知过双曲线（，）右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．

【答案】

【详解】试题分析：因为过双曲线（，）右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，所以双曲线的渐进线 的倾斜角小于，所以，即，解得．

【解析】双曲线的标准方程与几何性质．

16．已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围为_____________.

【答案】

【分析】对于，，使得成立，则有，利用函数的单调性分别在定义域内求出最值即可.

【详解】由，

根据复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，

所以

对于，，使得成立，则有

即不等式，对于任意的恒成立.

当时，，对于任意的，恒成立，

符合题意；

当时，的图像是开口向下的抛物线，且

要使不等式对于任意的恒成立，

则若对称轴，即，，即，显然成立，

若对称轴，即时，，

解得，故，

此时，

当时，函数的图像是开口向上的抛物线，

对称轴方程为，

在上无最大值，故不符合题意，

综上所述，实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查考查了不等式恒成立问题、考查了二次函数在某个区间上的最值，符合函数的单调性，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

三、解答题

17．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、一真一假，分类讨论，分别得到不等式组，即可求出参数的取值范围.

【详解】若为真命题，则，解得.

若为真命题，则，解得，

因为为真命题，为假命题，所以、一真一假，

若真假，则，解得，

若假真，则，解得，

综上所述，实数的取值范围为：.

18．已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

【答案】(1) (2) 存在，

【分析】（1）利用圆与圆外切时，圆心距等于半径之和，圆与圆内切时，圆心距等于半径之差的绝对值，从而得到方程组，再利用双曲线定义得到圆心的轨迹为双曲线的右支；

（2）利用设而不求、点差法、中点坐标公式，求得直线的斜率.

【详解】（1）设动圆圆心，半径为，

根据题意得：，所以，

则动点轨迹为双曲线（右支），所以，，，

所以轨迹方程为.

（2）设，代入双曲线的方程得

两式相减得，

因为是线段的中点，所以

所以，满足直线与曲线有两个交点，

所以的方程为.

【点睛】本题考查双曲线的定义，点差法的应用，注意求出的双曲线方程要进行验证，只是双曲线的右支，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

19．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为中点，．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角大小；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明平面，则有，在证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，

因为点M为中点，，

所以，

又平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面；

（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得，

因为平面，

所以即为平面PCD的一条法向量，

，

设直线与平面所成角为，

则，

又，所以，

即直线与平面所成角的大小为.

20．已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2.

(1)求曲线C的方程；

(2)过F作直线交曲线C于A、B两点，点，求△ABD面积的最小值.

【答案】(1)

(2)16

【分析】（1）设点是曲线上任意一点，利用已知条件列方程，化简求得曲线的方程.

（2）设出直线的方程，通过联立方程组以及根与系数关系、弦长公式、二次函数的性质等知识求得正确答案.

【详解】（1）设点是曲线上任意一点，

则.

当时曲线的方程为，

当时，曲线方程为.

故曲线方程是

（2）由题意得，直线的方程为，要与曲线有两个交点，

则曲线方程为，

设.由，得.

，

所以.，

故当时，.

所以三角形ABC面积的最小值是16.

21．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得CE//BF，进而线面平行得判定定理即可得出结论；

（2）法一：取AD的中点O连接PO，CO，证得为直线与平面所成角，解三角形求出，作于，连接证得为二面角的平面角，求出 的余弦值即可.

法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．

【详解】（1）证明：取的中点，连结是的中点，，

四边形是平行四边形，

平面平面，

直线//平面.

（2）法一：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点.取的中点在底面上的射影在上，设，则，

直线与底面所成角为，可得：，

可得：，，作于，连接，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：

法二：

由已知得,以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

则，，，，

,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即

又在棱上,设

由①，②得（舍去）或

所以，从而

设是平面ABM的法向量，则

所以可取.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值为.

22．以椭圆的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．

(1)求椭圆及其“准圆”的方程；

(2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）弦的长为定值

【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；

（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直线的距离的公式即可求出结果.

【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，

又，即且，所以，

则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．

（2）设直线的方程为，

且与椭圆的交点，

联列方程组代入消元得：，

由．

可得，

由得，

即，所以，

此时成立，

则原点到弦的距离，

得原点到弦的距离为，则，

故弦的长为定值．

【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再利用几何法即可计算弦长为定值.