2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（文）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题1．命题“”的否定为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即，故选：C2．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据焦点在x轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】根据双曲线的渐近线方程：，知：的渐近线方程为.故选：C.3．抛物线的准线方程是，则实数a的值（    ）A． B． C．8 D．-8【答案】A【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a的值.【详解】由题意得：，解得：.故选：A4．若f′(x0)＝，则 等于（    ）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f′(x0)＝，所以 ，故选：D5．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　)A．＋＝1 B．＋y2＝1C．＋＝1 D．x2＋＝1【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a，c，利用b2＝a2﹣c2得到b2,从而得到标准方程.【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到左顶点的距离为3知a+c=3,解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，因此椭圆的方程为＋＝1．故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．6．设k为正实数，则“”是“方程表示椭圆”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆得出k的范围，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】方程表示椭圆，则，解得.即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B7．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝（    ）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b的关系，结合已知焦距，可求得b的值.【详解】由的方程可知其渐近线斜率为,的渐近线斜率为,由于它们有相同的渐近线，∴，C2的焦距，又，，故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的的平方关系为,椭圆的a,b,c的关系为,一定要准确掌握.8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线的右支上，且，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用离心率公式可求得的值，利用双曲线的定义以及勾股定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，，因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，因为，由勾股定理可得，所以，，所以，，因此，.故选：D.9．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可.【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，由抛物线定义可知，，即，解得，故选：D10．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，此时在中，，转化为，消去b，求出椭圆离心率的取值范围.【详解】如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，中，，可得中，，所以，即，其中，可得，即椭圆离心率，且故选:C11．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值.【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.12．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为41，则椭圆C的长轴长为（    ）A．5 B．10 C．6 D．12【答案】B【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求解.【详解】椭圆的蒙日圆的半径为.因为，所以为蒙日圆的直径，所以，所以.因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为：.由面积的最大值为41，得，得，故椭圆的长轴长为.故选：B 二、填空题13．“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足且均可）.【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且，所以且，故可取0，故答案为：0（答案不唯一，满足且均可）14．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.【详解】椭圆,所以，得，则椭圆的右焦点为，所以直线经过椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，的周长为.故答案为：20.15．已知是抛物线的焦点，为坐标原点，点A是抛物线上的点，且，则的面积为_____________.【答案】【分析】设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得，利用三角形面积公式求解即可．【详解】设，由抛物线方程得：，所以，由抛物线的定义得：，解得：，又解得：，所以的面积为：.故答案为：.16．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为______．【答案】【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必相交于A，B两点，设，且弦AB被点P平分，故直线AB的斜率存在，两式相减得，，直线AB的方程为.故答案为:【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题. 三、解答题17．分别求适合下列条件的方程：(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；(2)经过点的抛物线的标准方程.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为由条件可得.所以.所以，当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，此时，所求抛物线的标准方程为；当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，此时，所求抛物线的标准方程为.综上所述，所求抛物线的标准方程为或.18．设集合，命题，命题(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.【答案】(1)(2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.【详解】（1）由条件， 是的充要条件，得，即，解得，所以实数的取值范围是.（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，所以，或，解得，综上实数的取值范围是.19．已知，命题，；命题，(1)若p是真命题，求a的最大值；(2)若为真命题，为假命题，求a的取值范围.【答案】(1)1(2) 【分析】（1）由p是真命题，列不等式，即可求得；（2）先求出p、q为真命题时a的范围，再由复合命题的真假分类讨论，即可求解.【详解】（1）若p是真命题，只需.因为在上单增，所以，所以.即a的最大值为1.（2）若q是真命题，即为关于x的方程有实根，只需，解得：或.若p是真命题，解得：.因为为真命题，为假命题，所以p、q一真一假.当p真q假，则有：，所以.当p假q真，则有：，所以.综上所述：或.即a的取值范围.20．已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2.(1)求曲线C的方程；(2)过F作倾斜角为的直线交曲线C于A、B两点，点，求ABD的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用求轨迹的直接法求解；（2）先设，与抛物线方程联立，求得弦长，再求得点D到直线的距离，利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）解：设曲线上动点坐标为，由题设得，整理得.（2）设，由，得，所以，因为直线经过抛物线的焦点，故，又点D到的距离，所以21．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）设椭圆C的方程为，由两点得出椭圆C的标准方程；（2）联立直线l与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出的范围，进而得出的最值.【详解】（1）设椭圆C的方程为且，因为椭圆C过点与点，所以，解得.所以椭圆C的标准方程为.（2）设直线，由，得，即，则.直线的方程分别为.令，则.则，，所以.因为，所以.即的取值范围为.所以存在最小值，且最小值为.【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从而由的范围，得出的取值范围.22．以椭圆的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．(1)求椭圆及其“准圆”的方程；(2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）弦的长为定值【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直线的距离的公式即可求出结果.【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即且，所以，则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组代入消元得：，由．可得，由得，即，所以，此时成立，则原点到弦的距离，得原点到弦的距离为，则，故弦的长为定值．【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再利用几何法即可计算弦长为定值.