最新人教版初二下册（春季班）数学期中考试试题及答案15

这是一份最新人教版初二下册（春季班）数学期中考试试题及答案15，共31页。试卷主要包含了高度抽象性，严密逻辑性，广泛应用性等内容，欢迎下载使用。
新人教版初中数学学科教材分析
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 
1．高度抽象性
数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性 
数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。逻辑严密也并非数学所独有。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性
数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 数学的这三个显著特点是互相联系的，数学的高度抽象性，决定了其逻辑的严密性，同时又保证其广泛的应用性。

人教版八年级数学下册期中考试试卷
及参考答案15
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．（3分）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝4，b＝4，c＝5
C．a＝5，b＝6，c＝7 D．a＝5，b＝12，c＝13
3．（3分）下列各式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
5．（3分）平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．15°
6．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（　　）

A．3 B．6 C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
9．（3分）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为（　　）

A．22.5° B．60° C．67.5° D．75°
10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD＝BC”，小红说“添加AB＝DC”．你同意　 　的观点，理由是　 　．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则AB的长等于　 　．菱形ABCD的面积等于　 　．

13．（3分）在Rt△ABC中，a，b均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若a＜+1＜b，则该直角三角形斜边上的高为　 　．
14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　．

15．（3分）已知：x，y为实数，且y，则|y﹣4|﹣的化简结果为　 　．
16．（3分）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝　 　．

三、解答题（本题共72分）
17．计算：
（1）；



（2）．



18．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，
求证：四边形AECF是平行四边形．






19．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

20．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．






21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．







22．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为　 　（直接写出答案）．





23．请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为　 　；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值　 　；
（3）+的最小值为　 　．





24．问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　 　；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．






25．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为　 　．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

人教版八年级数学下册期中考试试卷15
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）判断即可．
【解答】
解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．（3分）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝4，b＝4，c＝5
C．a＝5，b＝6，c＝7 D．a＝5，b＝12，c＝13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122＝132，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）下列各式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝，故此选项错误；
B、＝＝，故此选项错误；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、＝|a|，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
4．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．15°
【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，再由∠B＝2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝∠C＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
6．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【分析】分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；
C、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理是解答此题的关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（　　）

A．3 B．6 C． D．
【分析】根据矩形的性质推出AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，求出OA＝OB，求出等边三角形AOB，推出OB＝AB＝3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∵OB＝BD，
∴BD＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
9．（3分）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为（　　）

A．22.5° B．60° C．67.5° D．75°
【分析】由正方形的性质得到BC＝CD，∠DBC＝45°，证出BE＝BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC＝∠BCE＝67.5°即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝45°，
∵BE＝CD，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证出BE＝BC是解决问题的关键．
10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形ABCD是正方形可以得出AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝45°，作PH⊥AB于H，可以得出四边形BEPH为正方形，可以得出AH＝CE，由条件可以得出四边形PECF是矩形，就有CE＝PF，利用三角形全等可以得出AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，由勾股定理可以得出PD＝PF，可以得出PD＝EC，点P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时才成立，故可以得出答案．
【解答】解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，
∴四边形BEPH为正方形，
∴BH＝BE＝PE＝HP，
∴AH＝CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD＝PF，
∴PD＝CE．
故③正确．
∵点P在BD上，
∴当AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三种情况．
故④错误，
∴正确的个数有3个．
故选C．

【点评】本题考查了正方形的性质，正方形的判定，矩形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的运用等多个知识点．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD＝BC”，小红说“添加AB＝DC”．你同意　小明　的观点，理由是　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得小明正确．
【解答】解：四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，应添加AD＝BC，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此小明说的对；
小红添加的条件，也可能是等腰梯形，因此小红错误，
故答案为：小明；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则AB的长等于　13　．菱形ABCD的面积等于　120　．

【分析】利用菱形的对角线互相平分且垂直，进而利用勾股定理得出AB的长，由菱形的面积公式可求菱形ABCD的面积．
【解答】解：

∵菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，
∴BO＝12，AO＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13，
∴菱形ABCD的面积＝＝120
故答案为：13，120
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形对角线的关系是解题关键．
13．（3分）在Rt△ABC中，a，b均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若a＜+1＜b，则该直角三角形斜边上的高为　　．
【分析】根据2＜＜3，求出a、b，根据勾股定理求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设该直角三角形斜边上的高为h，
∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴a＝3，b＝4，
则直角三角形的斜边长＝＝5，
则×3×4＝×5×h，
解得，h＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理、估算无理数的大小，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　1　．

【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
15．（3分）已知：x，y为实数，且y，则|y﹣4|﹣的化简结果为　﹣1　．
【分析】由有意义，得x＝1，确定y的值，然后化简|y﹣4|﹣．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，
解得x＝1．
∴y＜4．
∵|y﹣4|﹣
＝|y﹣4|﹣
＝|y﹣4|﹣|y﹣5|
当y＜4时，
原式＝4﹣y﹣5+y
＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值与二次根式的化简．解决本题的关键是确定y的范围．
16．（3分）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝　16　．

【分析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO＝∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．
【解答】
解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，
∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵在△BAO和△CGO中
，
∴△BAO≌△CGO，
∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，
∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG＝＝12，
即AC＝12+4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
三、解答题（本题共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根和去括号得到原式＝2+3﹣﹣5，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把化为最简二次根式，再利用二次根式的除法和平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣5
＝﹣2；

（2）原式＝3+（）2﹣（）2
＝3+7﹣5
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，
求证：四边形AECF是平行四边形．

【分析】连接AC，交BD于点O．由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”推知OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，得证．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
又∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
19．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．

【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
20．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．

【分析】（1）根据正方形的性质四条边都相等可得BC＝CD，对角线平分一组对角线可得∠ACB＝∠ACD，然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB＝PD，然后等量代换即可得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠PBC＝∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC＝∠PEB，从而得到∠PDC＝∠PEB，再根据∠PEB+∠PEC＝180°求出∠PDC+∠PEC＝180°，然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE＝90°，判断出△PDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；

（2）判断∠PED＝45°．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）利用四边形的内角和定理求出∠EPD＝90°．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．

【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．

（2）解：

【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
22．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为　　（直接写出答案）．

【分析】（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD＝∠MCN＝45°，从而得出∠ACN＝90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE＝CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；
（2）BE＝AD+CN．根据正方形的性质可得出BF＝AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF＝CN，由线段间的关系即可证出结论；
（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB＝1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．

②证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵∠CMN＝90°，CM＝MN，
∴∠MCN＝45°，
∴∠ACN＝∠ACD+∠MCN＝90°．
∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，
∴AE＝CE＝AN．
∵AE＝CE，AB＝CB，
∴点B，E在AC的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．
（2）BE＝AD+CN．
证明：∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，
∴AF＝FC．
∵点E是AN中点，
∴AE＝EN，
∴FE是△ACN的中位线．
∴FE＝CN．
∵BE⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°．
∵∠FCB＝45°，
∴∠FBC＝45°，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴BF＝CF．
在Rt△BCF中，BF2+CF2＝BC2，
∴BF＝BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD，
∴BF＝AD．
∵BE＝BF+FE，
∴BE＝AD+CN．
（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．
∵∠BDC＝45°，∠DCN＝45°，
∴BD∥CN，
∴四边形DFCN为梯形．
∵AB＝1，
∴CF＝DF＝BD＝，CN＝CD＝，
∴S梯形DFCN＝（DF+CN）•CF＝（+）×＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD表示出EF、BF的长度；（3）找出EN所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
23．请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为　3　；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值　5　；
（3）+的最小值为　　．

【分析】（1）利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC＝2m﹣3，PC＝1，则PA＝；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，结合（2）即可求得．
【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴PA＝，
∴PA′＝PA＝，
∵AA′∥BD，
∴∠A′＝∠B，
∵∠A′PC＝∠BPD，
∴△A′PC∽△BPD，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝2，
∴AP+PB＝+2＝3；
故答案为3；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，
∴BD+AC＝BD+DE＝4，
即BE＝4，
在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5，
故答案为5；
（3）如图3，设AC＝2m﹣3，PC＝1，则PA＝；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，
∵DE＝AC＝2m﹣3，
∴BE＝BD+DE＝5，A′E＝CD＝PC+PD＝3
∴PA+PB＝A′B＝＝＝．
故答案为．


【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
24．问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　　；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

【分析】（1）△ABC的面积＝3×3﹣1×2÷2﹣1×3÷2﹣2×3÷2＝3.5；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边； a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）；

（2）如图：

S△ABC＝2a×4a﹣a×2a﹣×2a×2a﹣＝3a2；

（3）解：构造△ABC所示，

S△ABC＝3m×4n﹣﹣×3m×2n×2m×2n
＝5mn．
【点评】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
25．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为　1　．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE＝DF；
（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE＝DF．
（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE＝DF
∵DE＝kDF
∴k＝1；

（2）∵CB＝CA
∴∠CBA＝∠CAB
∵∠MAC＝∠MBE
∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM＝∠BAM
∴AM＝BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB＝∠MFA＝90
又∵∠MBE＝∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE＝AF
∵D是AB的中点，即BD＝AD
又∵∠DBE＝∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE＝DF；

（3）DE＝DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，

∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG＝BM
同理可得：DH∥AM，DH＝AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH
∴∠HBE＝∠HEB
∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC
又∵DG＝BM，HE＝BM
∴DG＝HE
同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM＝∠DHM
∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC
又∵∠MBC＝∠MAC
∴∠MGF＝∠MHE
∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE
∴∠DGF＝∠DHE
在△DHE与△FGD中
，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．