2022-2023学年河北省张家口市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年河北省张家口市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的概念求解即可.

【详解】由解得，所以，

所以，

故选:A.

2．“”是“”的一个（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用指数函数的单调性即可得解.

【详解】因为，

所以在上单调递增，且恒成立，在上单调递增，

当时，由的单调性可得，即；

当时，由的单调性可得；

综上：“”是“”的充要条件.

故选：C.

3．已知命题：“，”，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】全称命题的否定是特称命题，其否定方法为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否定为，

所以为，.

故选：A.

4．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的定义域后，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】函数的定义域为，

因为和在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为，，

所以有唯一零点在上，

故选：C

5．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依次将与代入即可求得结果.

【详解】因为，，

所以，

因为，

所以.

故选：B.

6．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可.

【详解】因为在上单调递增，且，

所以，即，

因为在上单调递减，且，

所以，即，

所以，

故选：A.

7．若，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.

【详解】因为，，，

则，

当且仅当时，即时，等号成立；

所以，即的最大值为，

故选：C.

8．已知方程在上有实数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可.

【详解】令，则对称轴为，

当时，在上为增函数，

因为方程在上有实数解，

所以，即，解得，

当时，因为方程在上有实数解，

所以，解得或（舍去），

综上或，

故选：D

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】对于A、B、D选项，根据不等式的性质即可判断，C选项利用作差法和立方差公式即可判断.

【详解】对于A选项：若，则，所以A选项错误；

对于B选项：若，则，所以B选项错误；

对于C选项：若，则，

因为，则，且，所以，

即，所以C选项正确；

对于D选项：若，则两边同乘得：；

，则两边同乘得：，即，所以D选项正确；

故选：CD.

10．已知不等式，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则不等式的解集为

B．若不等式的解集为，则

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式恒成立，则

【答案】ABC

【分析】代入解一元二次不等式可判断A；根据韦达定理可判断B;根据韦达定理可得，由指数的运算可判断C；分与讨论可判断D.

【详解】对于A，若，则即为，解得，故A正确；

对于B，若不等式的解集为，则和是方程的两个根，且，

所以，解得，故B正确；

对于C，不等式的解集为，则和是方程的两个根，且，

则，

则，故C正确；

对于D，当时，恒成立；

当时，可得，解得.

综上所述，若不等式恒成立，则，故D错误.

故选:ABC.

11．若函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则为偶函数

B．若的定义域为，则

C．若，则的单调增区间为

D．若在上单调递减，则

【答案】AB

【分析】对于A选项：根据偶函数的定义即可判断；

对于B选项：根据二次函数在上恒成立的条件即可判断；

对于C选项：求出的定义域，由单调区间和定义域的关系即可判断；

对于D选项：根据函数的定义域和复合函数的单调性即可判断.

【详解】对于A选项：若，则，其定义域为，

又，即为偶函数，所以A选项正确；

对于B选项：若的定义域为，则在上恒成立，

即，解得：，所以B选项正确；

对于C选项：若，则，

则，解得：或，

即的定义域为，

因为，单调区间要以定义域为前提，所以C选项错误；

对于D选项：若在上单调递减，

则，且，解得：，所以D选项错误；

故选：AB.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在上有两个零点

B．方程在有两个不等实根，则

C．方程在上的两个不等实根为，则

D．方程共有两个实根

【答案】ACD

【分析】画出函数的图象，根据图象可判断AB；不妨设，可得，根据对数的运算可判断C；设，根据函数的图象与性质求解与图象的交点个数，从而可判断D.

【详解】画出的图象如图所示：

由图可知，函数在上有两个零点，即和，故A正确；

方程在有两个不等实根，则，故B错误；

方程在上的两个不等实根为，不妨设，

则,即，解得，故C正确；

设，则为偶函数，

当，所以，所以在上单调递减，

由为偶函数可得在上单调递增，且.

所以与的图象在上有1个交点，在上也有一个交点，

所以与的图象有2个交点，即方程共有两个实根，故D正确.

故选:ACD.

三、填空题

13．幂函数的图象过点（4，2），则______.

【答案】

【分析】首先设出幂函数的解析式，代入点(4,2),进而求出解析式，即可求得结果.

【详解】设，因为的图象过点（4，2），所以，，

，所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的求值，形如的函数是幂函数，注意幂函数的系数为1，考查了运算求解能力.

14．函数的值域为________.

【答案】

【分析】利用换元法结合对数函数和指数函数的性质求解即可.

【详解】函数的定义域为，

令，则，

因为，所以，即，

所以，即，

所以函数的值域为，

故答案为：

15．不等式的解集为________.

【答案】

【分析】令（），则原不等式可转化为，解出的范围，从而可求出的范围.

【详解】令（），则可化为，

即，解得，

所以，得，

所以原不等式的解集为，

故答案为：.

16．若，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】由题意可得在上恒成立，然后构造函数求出其最小值，从而可求出实数的取值范围.

【详解】由，不等式恒成立，

得在上恒成立，

令，，

任取，且，则

，

因为，所以，，，

所以，所以，

即，

所以在上单调递增，

所以，

所以，得，

即实数的取值范围为.

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)3；

(2)1

【分析】（1）根据即可求解；

（2）根据，即可求解.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若，且满足，求实数的取值范围.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）分别解出两个不等式，求出集合，从而可求出；

（2）求出集合，再由列不等式可求出实数的取值范围.

【详解】（1），

当时，或，

所以或；

（2）当时，或，

因为，

所以，解得，

即实数的取值范围为.

19．李华计划将10000元存入银行，恰巧银行最新推出两种存款理财方案.

方案一：年利率为单利（单利是指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方法），每年的存款利率为；

方案二：年利率为复利（复利是指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计息的计息方式，也即通常所说的“利生利”），每年的存款利率为；

(1)如果李华想存款（）年，其所获得的利息为元，分别写出两种方案中，关于的函数关系式；

(2)李华最后决定存款10年，如果你是银行工作人员，请帮他合理选择一种投资方案，并告知原由.（参考数据：，）

【答案】(1)方案一：，方案二：；

(2)选择方案一投资，理由见解析

【分析】（1）方案一：因为只有本金计取利息，每年的存款利率为，即可得到10000元存入银行（）年获得的利息；方案二：计息利息时，由本金加上先前周期所积累利息总额来计息，每年的存款利率为，就得到10000元存入银行（）年获得的利息；

（2）结合（1）分别计算出方案一和方案二存款10年的总利息，比较大小即可判断.

【详解】（1）方案一：因为只有本金计取利息，每年的存款利率为，

所以李华将10000元存入银行（）年，其所获得的利息；

方案二：计息利息时，由本金加上先前周期所积累利息总额来计息，每年的存款利率为，

所以李华将10000元存入银行（）年，其所获得的利息.

（2）①方案一存款10年，所得总利息元；

②方案二存款10年，所得总利息元；

因为，所以选择方案一投资.

20．已知函数（且）.

(1)若，且，求函数的零点；

(2)当时，有最小值，求的值.

【答案】(1)6

(2)

【分析】(1)利用函数零点的定义以及对数的运算求解；(2)根据复合函数的单调性讨论最值求解.

【详解】（1）时，定义域为，

令，

即，所以，

即解得（舍）或.

所以的零点为6.

（2）,，

令，，

则在单调递增，

若，在单调递减，

解得，

若，在单调递增，

无最小值，不满足题意，

所以.

21．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并证明你的结论；

(2)在的条件下，求函数的最小值.

【答案】(1)奇函数

(2)

【分析】(1)根据奇函数的定义判断证明；(2)利用基本不等式求最小值.

【详解】（1）判断函数为奇函数，理由如下：

要使函数有意义，则即解得，

所以函数的定义域为，

又因为，

所以函数为奇函数.

（2）由的即即，

则解得，

，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.

22．已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.

(1)①作出函数在上的图象；

②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；

(2)设，若，，使得成立，求实数的最小值.

【答案】(1)①图象见解析；②；

(2).

【分析】（1）①先作出上的图象，再利用偶函数的性质作出上的图象即可，②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，然后结合图象可求得答案；

（2）由题意可得，利用函数的单调性结合换元法求出，再由（1）求出，代入上式可求出实数的范围，从而可求出其最小值.

【详解】（1）①当时，.

列表：

描点连线，图象如图，

因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，

所以在上的图象如图所示；

②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，

由图象可知当时，有6个交点，

所以实数的取值范围为；

（2）因为在上为增函数，在上为增函数，

所以在上为增函数，

因为在上为增函数，

所以在上为增函数，

所以，

由（1）可知在上的最小值为0，

因为，，使得成立，

所以，

所以，解得，

所以实数的最小值为.