2023潍坊高三下学期3月学科核心素养测评试题数学含解析

2023年潍坊市高中学科核心素养测评

高三数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）

A. 2 B. -1 C. 1 D.

2. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（    ）

A. 甲的单场平均得分比乙低 B. 乙的60%分位数为19

C. 甲、乙的极差均为11 D. 乙得分的中位数是16.5

4. 已知函数，函数在上的零点的个数为（    ）

A 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去．若四边形的面积为760，则n的值为（    ）

A. 18 B. 19 C. 21 D. 22

7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，

9. 假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ）

附：随机变量，则，，．

A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%

B. 生产线乙的食盐质量

C. 生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重

D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的

10. 已知非零向量，，对任意，恒有，则（    ）

A. 在上的投影的数量为1 B.

C.  D.

11. 已知函数定义域D关于原点对称，且，当时，；且对任意且，都有，则（    ）

A. 是奇函数 B.

C. 周期函数 D. 在上单调递减

12 设，当时，规定，如，．则（    ）

A.

B.

C. 设函数的值域为M，则M的子集个数为32

D.

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置．

13. 已知，（i为虚数单位），则______．

14. 已知圆M满足与直线和圆都相切，且直线MN与l垂直，请写出一个符合条件的圆M的标准方程________________________．

15. 若，，则的最大值为____________．

16. 公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，若在等高处的截面积相等，则体积相等．如图是某厂家生产的游泳池浮漂实物图及设计图，则h的长度为____________cm；利用祖暅原理可求得该浮漂的体积为____________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．

（1）设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18. 设钝角△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，其中R是外接圆的半径．

（1）若，求C的大小；

（2）若，，证明：为等腰三角形．

19. 如图，直角梯形ABCD中，，直角梯形ABCD绕BC旋转一周形成一个圆台．

（1）求圆台的表面积和体积；

（2）若直角梯形ABCD绕BC逆时针旋转角到，且直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求角的最小值．

20. 某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．

（1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；

（2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．

21. 已知动点P与两定点，，直线与的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设，E为直线上一动点，直线DE交曲线C于G，H两点，若、、、依次为等比数列的第m、n、p、q项，且，求实数a的值．

22. 已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意，都有，求实数k的取值范围；

（3）当时，对任意，且，试比较与的大小．