2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形旋转变换问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形旋转变换问题》强化练习(含答案)，共22页。试卷主要包含了如图，抛物线f，定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形旋转变换问题》强化练习1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2＋bx＋c恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是(0，6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求BP＋EP取最小值时，点P的坐标．            2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，﹣6)，顶点为D(﹣2，2)．(1)求抛物线W1的表达式；(2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．                  3.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋6与x轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．(1)求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；(2)将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点(点F在点E的左侧)，与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．                  4.已知抛物线y＝ax2＋c过点A(﹣2，0)和D(﹣1，3)两点，交x轴于另一点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是 　  　；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是 　  　．                5.如图，抛物线f(x)：y＝a(x＋1)(x﹣5)与x轴交于点A、B(点A位于点B左边)，与y轴交于点C(0，．(1)求抛物线f(x)的解析式；(2)作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f(x)沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'(x)．在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'(x)于点P．当△ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标．                  6.如图(1)，△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：(1)①点E到BC边的距离为 　 　；②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为 　  　；(不写自变量取值范围)(2)当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图(2)，抛物线C1过点A、D、B；①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时(a＞0)，抛物线C2有最大值2a，求a值．         7.定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点(0，0)在抛物线y＝﹣x2＋2x上，抛物线y＝﹣x2＋2x的顶点(1，1)也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2＋2x关联．(1)已知抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1和抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1与抛物线C1是否关联；(2)抛物线M1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点为A，动点P的坐标为(t，2)，将抛物线M1绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；(3)抛物线M1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．             8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x＋3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2＋bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s关于t的函数关系式；(不要求写自变量t的取值范围)(3)在(2)的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝2∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若sin∠PFC=，求线段PF的长．      
参考答案1.解：(1)∵直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，∴当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝﹣3，∴A(﹣3，0)，B(0，﹣4)，∵抛物线y＝x2＋bx＋c恰好经过这两点．∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣4；(2)①∵将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6，EF＝AO＝3，EF∥y轴，∴E(6，3)，当x＝6时，y＝3，∴点E在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，∵A(﹣3，0)，B(0，﹣4)，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵sin∠ABO＝，∴HP＝BP，∴BP＋EP＝HP＋PE，∴当E，P，H三点共线时，HP＋PE有最小值，最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴，∴，∴PG＝，∴OP＝﹣3＝，∴P(0，﹣)．2.解：(1)设抛物线W1的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，抛物线W1经过点C(0，﹣6)，顶点坐标D(﹣2，2)，∴，解得：．∴抛物线W1的表达式为：y＝﹣2x2﹣8x﹣6；(2)在抛物线W2上存在点M，使S△DAD′＝S△DD′M．理由：∵将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，∴D′(2，﹣2)．∴抛物线W2的解析式为y＝2(x﹣2)2﹣2＝2x2﹣8x＋6．如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，由题意得：DD′经过点O，则S△DAD′＝S△ADO＋S△AOD′．过点D′作x轴的平行线EF，过点D作DE⊥EF于点E，交x轴于点G，过点M作MF⊥EF于点F，交x轴于点H，∵D(﹣2，2)，D′(2，﹣2)，∴DG＝OG＝2，DE＝4，D′E＝4，FH＝2．令y＝0，则﹣2x2﹣8x﹣6＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∴A(﹣3，0)，B(﹣1，0)．∴OA＝3．∴S△DAD′＝S△ADO＋S△AOD′＝×3×2＋×3×2＝6．设点M(m，2m2﹣8m＋6)，则MH＝2m2﹣8m＋6，OH＝m．∴MF＝MH＋HF＝2m2﹣8m＋6＋2＝2m2﹣8m＋8，D′F＝m﹣2，EF＝OG＋OH＝m＋2．∵S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DD′E﹣S△MD′F，∴S△DD′M＝(DE＋MF)•EF﹣DE•D′E﹣MF•D′F＝(4＋2m2﹣8m＋8)(m＋2)﹣×4×4﹣(2m2﹣8m＋8)(m﹣2)＝4m2﹣14m＋12．∵S△DD′M＝S△DD′A，∴4m2﹣14m＋12＝6．解得：m＝3或．当m＝3时，2m2﹣8m＋6＝0，当m＝时，2m2﹣8m＋6＝，∴M(3，0)或(，)．∴在抛物线W2上存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM.点M的坐标为(3，0)或(，)．3.解：(1)将x＝0代入y＝﹣x＋6得y＝6，∴点B坐标为(0，6)，将y＝0代入y＝﹣x＋6得0＝﹣x＋6，解得x＝8，∴点A坐标为(8，0)，∵OC＝3，∴点C坐标为(3，0)，设抛物线解析式为y＝a(x﹣8)(x﹣3)，将(0，6)代入y＝a(x﹣8)(x﹣3)得6＝24a，解得a＝，∴y＝(x﹣8)(x﹣3)＝x2﹣x＋6．(2)将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1解析式为y＝﹣(x＋8)(x＋3)＝﹣x2﹣x﹣6，∵抛物线L经过(3，0)，(8，0)，∴抛物线L1经过E(﹣3，0)，F(﹣8，0)，与y轴交于点M(0，﹣6)，设直线FM解析式为y＝kx＋b，将E(﹣3，0)，M(0，﹣6)代入y＝kx＋b得，解得，∴y＝﹣2x﹣6，∵抛物线经E(﹣3，0)，F(﹣8，0)，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，∵抛物线对称轴为线段EF的垂直平分线，∴QF＝QE，∴点Q为抛物线对称轴与直线EM交点时，|QF﹣QM|＝EM的值最大，将x＝﹣代入y＝﹣2x﹣6得y＝﹣2×(﹣)﹣6＝5，∴点Q坐标为(﹣，5)时，|QF﹣QM|的最大值为EM＝3．4.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋c过点A(﹣2，0)和D(﹣1，3)两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋4；(2)过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2＋4，令y＝0，则﹣x2＋4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B(2，0)，∵DF＝3，BF＝2﹣(﹣1)＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DSA≌△DEB(ASA)，∴BA＝BE，∵B(2，0)，∴E(2，4)，设直线DE的解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x＋，联立，解得或，则P(，)；(3)①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P(a，b) 关于原点旋转90°后对应点为P1(b，﹣a) 在旋转后图形上，P1(b，﹣a) 关于x轴对称的点P2(b，a) 在旋转后图形上，∵P(a，b)与P2(b，a)关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，又∵S△GFE＝GI•(xE﹣xF)，设G(m，﹣m2＋4)，则I(m，m)，∴GI＝yG﹣yI＝﹣m2＋4﹣m＝﹣(m＋)2＋，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G(﹣，)，由①可知G(﹣，)关于y＝x的对称点H(，﹣)，∴K(，)，∴GK＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，5.解：(1)把点C(0，)代入抛物线f(x)：y＝a(x＋1)(x﹣5)中得：﹣5a＝，解得：a＝﹣，∴y＝﹣ (x＋1)(x﹣5)＝﹣ (x2﹣4x﹣5)＝﹣x2＋x＋，∴抛物线f(x)的表达式为y＝﹣x2＋x＋； (2)∵点C关于x轴的对称点C′，∴C'(0，﹣)，∵原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线f'(x)，∴抛物线f'(x)的解析式为：y＝﹣x2＋x﹣，∵y＝﹣x2＋x＋与x轴交于点A、B(点A位于点B左边)，令y＝0，则﹣x2＋x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A(﹣1，0)，B(5，0)，∵C(0，)，∴OA＝1，OC＝，∴AC＝2，∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，∵AE平分∠CAO，∴∠CAF＝30°，分三种情况：①当AC＝AF＝2时，如图，设FP交y轴于G，过点F作FL⊥y轴于L，FH⊥x轴于H，过点G作GK⊥CF，交CF的延长线于K，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠OCF＝45°，Rt△AFH中，FH＝AF＝1，AH＝，∴F(﹣1，1)，∵CL＝FL＝﹣1，∴CF＝FL＝(﹣1)，Rt△CGK中，∠GFK＝180°﹣∠CFP＝180°﹣120°＝60°，设FK＝m，GK＝m，∵∠OCF＝45°，∴△GCK是等腰直角三角形，∴CK＝GK，∴(﹣1)＋m＝m，∴m＝，∴CG＝KG＝m＝2，∴G(0，﹣)可得直线PF的解析式为：y＝(2＋)x﹣，则，解得：，，∴P(0，﹣)或(，﹣12﹣)；②当AC＝CF时，如图，∠CAF＝∠CFA＝30°，∴∠ACQ＝120°，∴∠OCF＝90°，∴F(2，)，∵y＝﹣x2＋x＋＝﹣(x﹣2)2＋，∴抛物线f(x)的对称轴是：x＝2，∴F在DF上，延长PF交y轴于G，∵∠CFP＝120°，∴∠GFC＝60°，Rt△GCF中，∠CGF＝30°，∵CF＝2，∴CG＝2，∴OG＝3，∴G(0，3)，∴GF的解析式为：y＝﹣x＋3，∴，解得，，∴P(4，﹣)或(5，﹣2)；③当CF＝AF时，如图，∠CFA＝120°，此种情况不符合题意；综上，当△CAQ为等腰三角形时，点P的横坐标是0或4或5或﹣﹣1．6.解：(1)①过点E作EH⊥BC于点H，如图，∵∠PBE＝90°，∴∠PBC＋∠CBE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CPB＋∠PBC＝90°，∴∠CPB＝∠CBE，在△PCB 和△BHE中，，∴△PCB≌△BHE(AAS)，∴EH＝CB＝6，∴点E到BC边的距离为6，故答案为：6；②∵CD＝x，BD＝6﹣x，∴S△BDE＝BD×EH＝×(6﹣x)×6＝18﹣3x，故答案为：S＝18﹣3x；(2)①由题知点A(0，6)，点B(6，0)，∵S△BDE＝18﹣3x＝15，∴x＝1，∴点D的坐标是(1，0)，设抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c，将点A、D、B的坐标分别代入得，，解得：，∴抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣7x＋6，当Q与E重合，点E在抛物线上时，QN＝BE取最大值，∵EH＝6，∴将y＝﹣6代入抛物线得：﹣6＝x2﹣7x＋6，解得：x1＝3，x₂＝4，当x＝3时，BH＝6﹣3＝3＝PC，与题干PC＜AC相矛盾，故x＝3舍去，∴BH＝6﹣4＝2，∴QN＝2，∴Q点的坐标为(4，﹣6)，∴QN的最大值为2，故QN的长度为2，Q点的坐标是(4，﹣6)；②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2为y＝﹣x2﹣7x﹣6，∵y＝﹣x2﹣7x﹣6＝﹣(x＋)2＋，∴抛物线C2的项点坐标为(﹣，)，当﹣2a≤﹣≤﹣a时，2a＝，解得：a＝，当﹣a＜﹣时，即﹣2a≤x≤﹣a，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣a时，取最大值，即﹣a2＋7a﹣6＝2a，解得a1＝2，a2＝3均不在﹣a＜﹣范围内，故均舍去，当﹣2a＞﹣时，即﹣2a≤x≤a，在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2a 时，取最大值，即﹣4a2＋14a﹣6＝2a，解得a＝，∵﹣2a＞﹣，即0，∴a＝舍去，∴a＝，∴a＝或a＝．7.解：(1)∵抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点坐标为M(﹣1，﹣2)，∴当x＝﹣1时，y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣1﹣2＋1＝﹣2，∴C1的顶点在抛物线C2上；∵抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，其顶点坐标为(1，2)，当x＝1时，y＝(x＋1)2﹣2＝22﹣2＝2，∴C2的顶点在抛物线C1上；∴抛物线C1、C2是关联的；∵抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1的顶点坐标为M(﹣，)，∴当x＝﹣时，y＝(x＋1)2﹣2＝﹣2＝﹣，∴抛物线C1与C3不关联；综上，抛物线C1、C2是关联的；抛物线C1与C3不关联；(2)抛物线M1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点M的坐标为(﹣1，﹣2)，∵动点P的坐标为(t，2)，∴点P在直线y＝2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y＝2的垂线，垂足为E，F，则ME＝NF＝4，∴点N的纵坐标为6，当y＝6时，(x＋1)2﹣2＝6，解得：x1＝7，x2＝﹣9，①设抛物M2的解析式为：y＝a(x﹣7)2＋6，∵点M(﹣1，﹣2)在抛物线M2上，∴﹣2＝a(﹣1﹣7)2＋6，∴a＝﹣．∴抛物线M2的解析式为：y＝﹣(x﹣7)2＋6；②设抛物M2的解析式为：y＝a(x＋9)2＋6，∵点M(﹣1，﹣2)在抛物线M2上，∴﹣2＝a(﹣1＋9)2＋6，∴a＝﹣．∴抛物线M2的解析式为：y＝﹣(x＋9)2＋6；(3)若A为抛物线M1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点，∴A(﹣1，﹣2)，当点B1恰好在y轴上，过A作x轴的平行线AN交y轴于N，过B作BM⊥AN于M，如图，∴AN＝1，∵BA⊥B1A，∴∠BAM＋∠B1AN＝90°，∵∠BAM＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠B′AN，∵AB＝AB′，∴△ABM≌△B1AN(AAS)，∴BM＝AN＝1，AM＝B1N，∴B点的纵坐标为﹣1，把y＝﹣1代入y＝(x＋1)2﹣2，解得：x＝﹣1＋2或x＝﹣1﹣2，∴B1(0，2﹣2)或(0，﹣2﹣2)，∴点B1的纵坐标是(0，2﹣2)或(0，﹣2﹣2)．8.解：(1)∵直线y＝x＋3交x轴于点A，y轴于点D，∴A(﹣3，0)，D(0，3)，将A(﹣3，0)代入抛物线y＝x2＋bx﹣3，∴(﹣3)2﹣3b﹣3＝0，∴b＝2，∴抛物线解析式为y＝x2＋2x﹣3，(2)连接OP，过点P作PH⊥x轴于H，PN⊥y轴于N，∵P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t(t＜0)，∴P(t，t2＋2t﹣3)，∴s＝S△APD＝S△OAD＋S△OAP﹣S△OPD＝＝＝＝﹣t2﹣t＋9．(3)过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y轴于N，如图3，∵PM∥DN，∴∠PDC＝∠DPM，∵∠EPD＝2∠PDC，∴∠HPM＝∠DPM，而PM⊥DH，∴MH＝MD，易得四边形PNDM为矩形，∴MD＝PN，∴DH＝2PN，∵EF⊥PD，∴∠GDF＋∠DFG＝90°，而∠PHD＋∠HPM＝90°，∴∠DFG＝∠PHM，∵∠ADF＝45°，∴∠HDE＝45°，∴△DEH≌△DEF(AAS)，∴DH＝DF，∴DF＝2MD＝2PN，在Rt△PFN中，∵，∴PF＝3PN，∴PN，∴设P点坐标为(t，t2＋2t﹣3)，则DF＝﹣2t，FN＝﹣2t，∴ON＝DF＋FN﹣OD＝﹣2t﹣2t﹣3，∴﹣2t﹣2t﹣3＝﹣(t2＋2t﹣3)，整理得t1＝﹣，t2＝3(舍去)，∴PF＝3PN＝﹣3t＝3．