高考 第1讲 数列的概念及性质

这是一份高考 第1讲 数列的概念及性质，共14页。试卷主要包含了数列的定义，数列的分类，数列的表示法，数列的通项公式，数列的递推公式，数列与函数的内在联系，故选B等内容，欢迎下载使用。
第1讲   数列的概念及性质1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即an＋1>an递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即an＋1<an常数列各项都相等的数列，即an＋1＝an周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．(1)列举法：a1，a2，a3，…，an，…；(2)图像法：数列可用一群孤立的点表示；(3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任意一项an与an－1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式．它是数列的一种表示法．注：并不是所有的数列都有通项公式，即使有通项公式也未必唯一．6．数列的通项an与前n项和Sn的关系已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．7．数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．考点一　由数列前几项求数列通项公式(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n，3n等形式递增；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值的特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理．  [典例 1]　数列，，，，…的一个通项公式an＝________．解析：　因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝．[典例 2]　数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________．解析：　这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n．[典例 3]　已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　)A．16　　　　　　　　B．24　　　　　　　　C．26　　　　　　　　D．28解析：　因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝．令an＝＝2＝，解得n＝26．[典例 4]　数列，－，，－，…的第10项是(　　)A．－　　　　　　　B．－　　　　　　　C．－　　　　 　　D．－解析：　所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－．[典例 5]　根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．解析：　由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4．[典例 6]　某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________．解析：　f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1．当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61．  【典例精练】1．数列0，，，，…的一个通项公式为________．解析：　an＝(n∈N*)             @钻研数学2．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．解析：　an＝(－1)n·　解析　各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·．3．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x应取(　　)A．19　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．21　　　　　　　　D．22解析：　a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21．故选C．4．已知数列，，2，…，则2是该数列的(　　)A．第5项　　　　　 B．第6项　　　　　　C．第7项　　　　　　D．第8项解析：　由数列，，2，…的前三项，，可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，可得n＝7．故选C．5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列{an}的通项公式为________．解析：　由图可知an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝．6．把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是(　　)A．27　　　　　　　　B．28　　　　　　　　C．29　　　　　　　　D．30解析：　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以第7个三角形数是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28．故选B．   考点二　数列的周期性周期数列：对于数列{an}，如果存在一个常数T，使得对任意的正整数i恒有ai＝ai＋T成立，则称数列{an}是周期为T的周期数列．周期数列的常见形式：(1)      an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(2)an＋1＝anan＋2(n∈N*)； (3)an＋1＝(n∈N*)；(4)an＋1＝(n∈N*)；(5)三角函数型；解决数列周期性问题的方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． [典例 7]　已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2 022项的和为(　　)A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．－5　　　　　　　　D．－1解析：　∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－1，b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1．∴{bn}是周期为6的周期数列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0．∴S2 022＝S337×6＝0．[典例 8]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 022的值为(　　)A．2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝，由a4＝1，a5＝，得a6＝，由a5＝，a6＝，得a7＝1，由a6＝，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 022＝a337×6＝a6＝．[典例 9]　在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．解析：　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．[典例 10]　已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 022＝(　　)A．－1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1 　　　　　　　　D．2解析：　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 022＝a3×674＝a3＝－1．[典例 11]　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 022的值为(　　)A．2　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．解析：　因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，故数列{an}是以4为周期的周期数列，故a2 022＝a505×4＋2＝a2＝－3．[典例 12]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)A．0　　　　　　　　B．2 018　　　　　　　　C．1 010　　　　　　　　D．1 009解析：　由a1＝1及an＋1－an＝sin，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，a7＝a6＋sin＝0，a8＝a7＋sin＝0，…，可见数列{an}为周期数列，周期T＝4，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝1 010．  【典例精练】1．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，则a2 021等于(　　)A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2解析：　由题意，数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝1，a2＝2，当n＝1时，可得a3＝a2－a1＝2－1＝1；当n＝2时，可得a4＝a3－a2＝1－2＝－1；当n＝3时，可得a5＝a4－a3＝－1－1＝－2；当n＝4时，可得a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1；当n＝5时，可得a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1；当n＝6时，可得a8＝a7－a6＝1－(－1)＝2；……可得数列{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 021＝a336×6＋5＝a5＝－2．故选A．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2a1＝1，an＋1an－1＝an(n≥2)，则下列结论不正确的是(　　)A．a2 020＝2　　　　　B．a4＝a100　　　　　　　　　　C．S3＝　　　　　D．S30＝6S6解析：　因为an＋1an－1＝an(n≥2)，所以对任意的n∈N*有an＋6＝＝，＝＝an，所以数列{an}为周期为6的周期数列，又a2＝2a1＝1，所以a3＝2，a4＝2，a5＝1，a6＝，所以a2 020＝a4＝2，a100＝a4，故A，B正确；易知S3＝＋1＋2＝，故C正确；易知S30＝5S6，所以D不正确．选D．3．在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝(　　)A．132　　　　　　　　B．299　　　　　　　　C．68　　　　　　　　D．99解析：　因为对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，所以an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋3＝an，所以数列{an}是周期数列，且周期为3．故a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，a100＝a1＝2，所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a100＝299．故选B．4．已知数列a1＝2，an＝1－(n≥2)．则a2 022＝________．解析：　a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以数列{an}满足an＝an＋3，所以a2 022＝a3＝－1．5．(2014·全国Ⅱ)数列{an}满足 an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．解析：　将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝．6．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝，则下列各数是{an}的项的有(　　)A．－2　　　　　　　　B． 　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．3解析：　∵a1＝－，an＋1＝，∴a2＝＝；a3＝＝3；a4＝＝－，∴数列{an}是周期为3的数列，且前3项分别为－，，3．故选BD．7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a1·a2·a3·…·a2022＝(　　)A．－6　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　　D．3解析：　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴an＋4＝an，又a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a2022＝(a1a2a3a4)505×a1a2＝1×2×(－3)＝－6．故选A．8．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2 022＝________．解析：　∵a1＝0，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝－，a4＝＝0，即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，且a1＋a2＋a3＝0，则S2 022＝S3×674＝0．9．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 020＝(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　由a1＝∈，得a2＝2a1－1＝∈，所以a3＝2a2＝∈，所以a4＝2a3＝∈，所以a5＝2a4－1＝＝a1．由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a2 020＝a504×4＋4＝a4＝．10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 022＝________．解析：　∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 022＝a2＝0．   考点三　数列的单调性(1)作差比较法an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．(2)作商比较法an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．@钻研数学an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． [典例 13]　记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an＞0”是“{Sn}是递增数列”的(　　)A．充分不必要条件　　    B．必要不充分条件　　C．充要条件　　      D．既不充分也不必要条件解析：　∵“an＞0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an＞0”．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．[典例 14]　已知数列{an}的通项an＝(a，b，c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是(　　)．A．an＞an＋1　　　　　B．an＜an＋1　　　　　C．an＝an＋1　　　　　D．不能确定解析：　an＝＝，∵y＝是减函数，∴y＝是增函数，∴an＜an＋1．[典例 15]　已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)A．递增数列　　　　　B．递减数列　　　　　C．摆动数列　　　　　D．常数列解析：　an＋1－an＝－＝>0，∴an＋1>an，∴选A．[典例 16]　(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，则下列说法正确的是(　　)A．数列{an}的前n项和为Sn＝　　　　　　B．数列{an}的通项公式为an＝C．数列{an}为递增数列　　　　　　　　　　D．数列为递增数列解析：　∵an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)．又Sn≠0，故－＝4(n≥2)，即数列是首项为＝4，公差为d＝4的等差数列，且数列也是递增数列，∴＝4＋4(n－1)＝4n，即Sn＝，故A，D正确；又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，且a1＝，故an＝数列{an}不是递增数列，故B，C错误．故选AD．[典例 17]　设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)A．　　　　　B．　　　　　C．(1，3) 　　　　　D．(2，3)解析：　结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有解得2<a<3．[典例 18]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若数列{Sn}(n≥7，n∈N*)为递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：　当n≥7时，数列{Sn}为递增数列，设Sn＋1＞Sn，即Sn＋1－Sn＝an＋1＞0，∴an＋1＝2(n＋1)＋λ＞0，则λ＞－2n－2．又∵n≥7，∴－2n－2≤－16，即λ＞－16．[典例 19]　若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．解析：　由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3．   【典例精练】1．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)A．必要不充分条件　         　B．充分不必要条件　　C．充要条件　　           D．既不充分也不必要条件解析：　当an＋1>|an|(n＝1，2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1，2，…)不一定成立．综上知，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．2．在数列{an}中，an＝，则{an}(　　)A．是常数列　　　　  B．不是单调数列　　　　C．是递增数列　　　　  D．是递减数列解析：　在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是递减数列．3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)A．1，，，，…，，…　　　　　　　　B．sin ，sin ，sin ，…，sin ，…C．－1，－，－，－，…，－，…   D．1，，，…，，…解析：　选项C，D既是无穷数列又是递增数列．4．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，若对任意的n∈N*，均有an>an＋1，则实数a的取值范围是(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．解析：　由题意，知解得<a<．故选D．5．已知f(x)＝数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)　　　　　B．　　　　　C．(1，3) 　　　　　D．(3，＋∞)解析：　因为{an}是递增数列，所以解得a>3，则a的取值范围是(3，＋∞)．6．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)，因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3．7．在数列{an}中，a1＝a，an＋1＝2an－1，若{an}为递增数列，则a的取值范围为(　　)A．a＞0　　　　　　B．a＞1　　　　　　C．a＞2 　　　　　　D．a＞3解析：　∵an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，∴＝2，又∵a1－1＝a－1，∴数列{an－1}是首项为a－1，公比为2的等比数列，∴an－1＝(a－1)2n－1，∴an＝(a－1)2n－1＋1，又∵{an}为递增数列，∴an＋1－an＝(a－1)2n－(a－1)2n－1＝(a－1)2n＞0，∴a－1＞0，∴a＞1，故选B．8．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)A．(3，＋∞)　　　　　B．(2，＋∞)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞)解析：　(单调性)因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．  @钻研数学