高考 第3讲 用an与Sn的关系求通项公式

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第3讲   用an与Sn的关系求通项公式Sn与an的关系已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．注意：Sn与an关系的二重性，即用Sn与an关系可消去an，也可消去Sn．(1)正用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去an转化为只含Sn，Sn－1的关系式．(2)逆用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去Sn转化为只含an，an－1的关系式，再求解．提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．  考点一　由Sn＝f(n)求an型已知Sn＝f(n)求an的常用方法是利用an＝主要分三个步骤完成：Step1：当n＝1时，在Sn＝f(n)中，令n＝1，求得a1＝f(1)；Step2：当n≥2时，再利用an＝Sn－Sn－1＝f(n)－f(n－1) (n≥2)，求出an＝f(n)－f(n－1)．即当n≥2，n∈N*时的通项公式；Step3：检查a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成an＝f(n)－f(n－1)；否则应写成分段的形式，即an＝  [典例 1]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．解析：　当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1．由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1．[典例 2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________；解析：　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此an＝[典例 3]　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．解析：　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1．当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝  【典例精练】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．解析：　a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5．2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝3．若Sn＝3n＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．解析：　因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝4．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．解析：　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1＜cn．解析：　(1)当n＝1时，a1＝S1＝4．对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n．又当n＝1时，a1＝4适合上式，故{an}的通项公式an＝4n．将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1．对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，bn＝bn－1，所以数列{bn}是以1为首项，为公比的等比数列，故bn＝21－n．(2)法一　由cn＝a·bn＝n225－n，得＝2．当且仅当n≥3时，1＋≤＜，即<1，即cn＋1＜cn．法二　由cn＝a·bn＝n225－n，得cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．当且仅当n≥3时，cn＋1－cn＜0，即cn＋1＜cn．    考点二　由a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型已知a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an的常用方法是利用an＝主要分三个步骤完成：Step1：当n＝1时，求得a1＝f(1)；Step2：当n≥2时，在a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)中用n－1替换n得到一个新的关系式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝f(n－1)，两式相减得到an＝f(n)－f(n－1) (n≥2)，便可求出当n≥2，n∈N*时的通项公式；Step3：检查a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成an＝f(n)－f(n－1)；否则应写成分段的形式，即an＝[典例 4]　已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝n　　　　　B．an＝n2　　　　　C．an＝ 　　　　　D．an＝解析：　当n＝1时，＝＝1，a1＝1．当n≥2时，∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝，两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①，又当n＝1时，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*．故选B．[典例 5]　已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．解析：　当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②，由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2)．显然当n＝1时不满足上式，∴an＝[典例 6]　记m＝，若{dn}是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若{dn}是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3．记cn＝＋klog3bn，数列{cn}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围．解析：　由题意得2＝，所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N＋)，两式相减得an＝(n≥2，n∈N＋)．当n＝1时，a1＝2，符合上式，所以an＝(n∈N＋)．又由题意得3＝，所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N＋)，两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N＋)．当n＝1时，b1＝3，符合上式，所以bn＝32－n(n∈N＋)．所以cn＝(2－k)n＋2k－1．因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，所以解得≤k≤，所以实数k的取值范围为．  【典例精练】1．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．解析：　已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1，将n＝1代入，得a1＝2；当n≥2时，将n－1代入得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，两式相减得nan＝(n＋1)－n＝1，∴an＝，∴an＝2．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．解析：　当n＝1时，a1＝21＝2．∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①，∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②，由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2)．显然n＝1时不满足上式，∴an＝3．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则{an}的通项公式是________．解析：　因为数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，所以当n＝1时，2a1＝4－1，解得a1＝；当n≥2时，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝4n－1－1，与题目条件中的等式相减，得到2nan＝4n－4n－1，整理得an＝·2n，该表达式对n＝1也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝·2n．    考点三　由f(an，Sn)＝0消去Sn型已知f(an，Sn)＝0求an，如果能消去Sn，则利用an＝消去Sn，主要分四个步骤完成：Step1：当n＝1时，先利用a1＝S1，求得a1；Step2：当n≥2时，用n－1替换f(an，Sn)＝0中的n得到一个新的关系式f(an－1，Sn－1)＝0，两式相减，再逆用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可得到当n≥2，n∈N*时数列{an}的一个递推公式；Step3：借助各类递推公式求通项公式的方法求出当n≥2，n∈N*时的通项公式；Step4：看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式．                   @钻研数学  [典例 7]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________．解析：　∵an＋Sn＝1，①，∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②，由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，则an＝×＝．[典例 8]　(2013·全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________．解析：　当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1．当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1．综上，an＝(－2)n－1．[典例 9]　设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，则通项公式an＝____________．解析：　由an＋1＝Sn①，可得an＝Sn－1(n≥2)②，①－②得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，即＝2(n≥2)，又a2＝S1＝1，所以＝1≠2，则数列{an}从第二项起是以1为首项2为公比的等比数列，所以an＝[典例 10]　已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an＝________．解析：　当n≥2时，Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2．两式相减，得an＋1＝4an－4an－1，将之变形为an＋1－2an＝2(an－2an－1)．所以{an＋1－2an}是公比为2的等比数列．又a1＋a2＝S2＝4a1＋2，a1＝1，得a2＝5，则a2－2a1＝3．所以an＋1－2an＝3·2n－1．两边同除以2n＋1，得－＝，所以是首项为＝，公差为的等差数列．所以＝＋(n－1)＝n－，所以an＝(3n－1)2n－2．[典例 11]　若Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝an＋1an，a1＝4，则数列{an}的通项公式为an＝____．解析：　因为2Sn＝an＋1an，a1＝4，所以n＝1时，2×4＝4a2，解得a2＝2．n≥2时，2Sn－1＝anan－1，可得2an＝an＋1an－anan－1，所以an＝0(舍去)或an＋1－an－1＝2．n≥2时，an＋1－an－1＝2，可得数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列．所以a2k－1＝4＋2(k－1)＝2k＋2，k∈N*，a2k＝2＋2(k－1)＝2k，k∈N*．所以an＝[典例 12]　设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解析：　(1)令n＝1，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1．(2)n≥2时，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1．因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2．  【典例精练】1．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________．解析：　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1．当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1．∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，(n∈N*)，则an________．解析：　当n≥2时，Sn＋1＝2an＋1－4，又由Sn＝2an－4可得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，a1＝S1＝2a1－4，得a1＝4．所以an＝4·2n－1＝2n＋1．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式是an＝________．解析：　因为an＋1＝2Sn＋1，当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，又a1＝1，a2＝2S1＋1＝3，所以＝3，从而{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，2Sn＝anan＋1(n∈N*)，则an＝________．解析：　由2Sn＝anan＋1可知2Sn－1＝an－1an(n≥2)，两式相减得2an＝anan＋1－an－1an＝an(an＋1－an－1)，因为a1＝1，所以an≠0，2＝an＋1－an－1，又因为a1＝1，2S1＝a1a2，所以a2＝2，结合an＋1－an－1＝2，所以an－an－1＝1，数列{an}是以1为公差，1为首项的等差数列，所以an＝n．5．(1)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝n，求an；(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an．解析：　(1)设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝1，当n≥2时，nan＝Tn－Tn－1＝n－(n－1)＝1，因此an＝，而a1＝1，也满足此等式，所以an＝．(2)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，即a－3a1＋2＝0．解得a1＝1或a1＝2．因为a1＝S1>1，所以a1＝2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)(an＋2)－(an－1＋1)(an－1＋2)，所以(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0．因为an>0，所以an＋an－1>0，所以an－an－1＝3，所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列．所以an＝3n－1．6．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解析：　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1，S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，同理，a3＝3，a4＝4．(2)Sn＝a＋，①，当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n．7．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝．(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：　(1)当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－．当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝8．设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)．(1)求a2及an；(2)求证：anSn的最大值为．@钻研数学解析：　(1)由题意得2a2＋S1＝3，即2a2＋a1＝3，所以a2＝＝．当n≥2时，由2an＋1＋Sn＝3，得2an＋Sn－1＝3，两式相减得2an＋1－an＝0，即an＋1＝an．因为a1＝，a2＝，所以a2＝a1，即当n＝1时，an＋1＝an也成立．所以{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝．(2)因为2an＋1＋Sn＝3，且an＋1＝an，所以Sn＝3－2an＋1＝3－an．于是，anSn＝an(3－an)≤2＝，当且仅当an＝，即n＝1时等号成立．故anSn的最大值为． 考点四　由f(an，Sn)＝0消去an型已知f(an，Sn)＝0求an，如果不能消去Sn，则利用an＝消去an，先求出Sn，再求an，主要分五个步骤完成：Step1：当n＝1时，先利用a1＝S1，求得a1；Step2：当n≥2时，用an＝消去an，便可得到当n≥2，n∈N*时数列{Sn}的一个递推公式；Step3：借助各类递推公式求通项公式的方法求出当n≥2，n∈N*时数列{Sn}的通项公式；Step4：此时问题转化为由Sn＝f(n)求an型，求出当n≥2，n∈N*时数列{an}的通项公式；Step5：看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式．  [典例 14]　设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3且当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：　当n≥2时，由2an＝Sn·Sn－1可得2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，∴－＝，即－＝－，∴数列是首项为，公差为－的等差数列，∴＝＋·(n－1)＝，∴Sn＝．当n≥2时，an＝SnSn－1＝××＝，又a1＝3，∴an＝[典例 15]　设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是________．①an＝　　②an＝　③Sn＝－　　④数列是等差数列 解析：　∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1．∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，又a1＝－1不适合上式，∴an＝  【典例精练】1．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝2，3S－2an＋1Sn＝a，则an＝________．解析：　由题意可得3S－2an＋1Sn－a＝(Sn－an＋1)·(3Sn＋an＋1)＝0，又an＞0，所以Sn＝an＋1，则Sn－1＝an(n≥2)，两式相减并移项得an＋1＝2an(n≥2)，又S1＝a1＝a2＝2，则an＝a2·2n－2＝2n－1(n≥2)，故an＝2．已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则an＝________．@钻研数学解析：　当n≥2时，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1，∴－＝1，又＝2，∴是以2为首项，1为公差的等差数列，∴＝n＋1，故Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又a1＝－1不适合上式，∴an＝