高考 第8讲 等差数列的判定与证明

这是一份高考 第8讲 等差数列的判定与证明，共12页。
第8讲   等差数列的判定与证明【基本方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．  [典例 1]　设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)A．{an＋1－an}是等差数列　　　　　　　B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列　　　　　　　　D．{an＋bn}是等差数列解析：　对于A，因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2．所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；对于C，因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故D错误．[典例 2]　若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)A．公差为3的等差数列　　　　　　　　　　B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列　　　　　　　　　　D．公差为9的等差数列解析：　令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，故bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6．即{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．[典例 3]　(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　)A．{|an|}　　　B．{an＋1－an}　　　C．{pan＋q}(p，q为常数)　　　D．{2an＋n}解析：　数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立．[典例 4]　已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是(　　)A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列是公差为的等差数列B．若数列是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列C．若数列{an}是等差数列，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列D．若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列解析：　A项，若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)，即数列是公差为的等差数列，故说法正确；B项，由题意得＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d，则an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C项，若等差数列{an}的公差为d，则数列的奇数项、偶数项都是公差为2d的等差数列，故说法正确；D项，若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D．[典例 5]　已知无穷数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，其中a，b，c为实数，则(　　)A．{an}可能为等差数列　　　　　　　　　　　　B．{an}可能为等比数列C．{an}中一定存在连续的三项构成等差数列　　        　D．{an}中一定存在连续的三项构成等比数列解析：　解法一：因为Sn＝an2＋bn＋c，所以Sn－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2na－a＋b(n≥2)，若数列{an}为等差数列，则a1＝a＋b＋c＝a＋b，c＝0，验证知，当c＝0时，{an}为等差数列，所以A正确；在an＝2na－a＋b(n≥2)中，当a＝0，b≠0时，an＝b(n≥2)，若数列{an}为等比数列，则a1＝b＋c＝b，c＝0，验证知，当a＝c＝0，b≠0时，{an}为等比数列，所以B正确；由an＝2na－a＋b(n≥2)可知，{an}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C正确；假设ak，ak＋1，ak＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka－a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{an}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC．解法二：当c＝0，a≠0时，数列{an}为等差数列，所以A正确；当a＝c＝0，b≠0时，数列{an}为常数列，也是等比数列，所以B正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2na－a＋b，则{an}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C正确；假设ak，ak＋1，ak＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka－a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{an}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC．[典例 6]　如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)A．{Sn}是等差数列　B．{S}是等差数列　 C．{dn}是等差数列　D．{d}是等差数列解析：　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn．∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|．设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．[典例 7]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26．(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}为等差数列．解析：　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意有解得a1＝3，d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝＝＝n(n＋2)．(2)因为bn＝＝＝n＋2，又bn＋1－bn＝n＋3－(n＋2)＝1，所以数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列．[典例 8]　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．解析：　(1)因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1．又b1＝＝－．所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋．设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3．[典例 9]　在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn．解析：　(1)证法一：nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，又＝4，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列．证法二：因为－＝＝＝2，＝4，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列．(2)由(1)，得＝a1＋2(n－1)，即＝2n＋2，即an＝2n2＋2n，故＝＝·＝，所以Sn＝＝＝．[典例 10]　数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn．解析：　(1)由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得，＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，从而可得bn＝n·3n．Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n　①，3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1　②．①－②，得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，所以Sn＝．[典例 11]　若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝．(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：　(1)当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，因为Sn≠0，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－．当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝[典例 12]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)．(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)设cn＝－，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，求Tn．解析：　(1)由已知2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)，①n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3n＋3，②①－②得：2an＝3an－3an－1－2·3n⇒an＝3an－1＋2·3n，故＝＋2，则bn－bn－1＝2(n≥2)．又n＝1时，2a1＝3a1－9＋3，解得a1＝6，则b1＝＝2．故数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2＋2(n－1)＝2n⇒an＝2n·3n．(2)由(1)，得cn＝2·3n－2nTn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2(1＋2＋…＋n)＝2·－2·＝3n＋1－n2－n－3．[典例 13]　(2014·全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．解析：　(1)由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．(2)由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．由(1)知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4．故an＋2－an＝4，由此可得数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．[典例 14]　设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an－Sn－1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋(n＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解析：　(1)由an－Sn－1＝0(n∈N*)，可知当n＝1时，a1－a1－1＝0，即a1＝2．又由an－Sn－1＝0(n∈N*)，可得an＋1－Sn＋1－1＝0，两式相减，得－＝0，即an＋1－an＝0，即an＋1＝2an．所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)知，Sn＝＝2(2n－1)，所以Sn＋(n＋2n)λ＝2(2n－1)＋(n＋2n)λ．若数列{Sn＋(n＋2n)λ}为等差数列，则S1＋(1＋2)λ，S2＋(2＋22)λ，S3＋(3＋23)λ成等差数列，即有2[S2＋(2＋22)λ]＝[S1＋(1＋2)λ]＋[S3＋(3＋23)λ]，即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2．经检验λ＝－2时，{Sn＋(n＋2n)λ}成等差数列，故λ的值为－2．[典例 15]　若数列{bn}对于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn，若cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．(1)求证：{an}是准等差数列；(2)求{an}的通项公式及前20项和S20．解析：　(1)证明：∵an＋an＋1＝2n(n∈N*)，①，∴an＋1＋an＋2＝2(n＋1)(n∈N*)，②②－①，得an＋2－an＝2(n∈N*)．∴{an}是公差为2的准等差数列．(2)∵a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，∴a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a．∴由(1)得a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列；a2，a4，a6…是以2－a为首项，2为公差的等差数列．当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a；当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1．∴an＝S20＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a19＋a20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×＝200． 【典例精练】1．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110．(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn．解析：　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10．(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝．2．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝，(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)并求{an}的通项公式．解析：　(1)因为bn＋1－bn＝－＝－＝1，所以数列{bn}是以0为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)bn＝n－1，所以an＝(n－1)·3n＋2n．3．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．解析：　(1)由已知得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6．由2a3－3a2＝12得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15．(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n．4．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n．(1)求证：数列是等差数列；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．解析：　(1)∵nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴－＝－＝，∴数列是首项为1，公差为的等差数列．(2)由(1)知，＝1＋(n－1)＝，∴an＝．∴bn＝＝＝2．∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(1－＋－＋…＋－)＝．5．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N*．(1)设bn＝，证明：{bn}为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn．解析：　(1)把an＝2nbn代入到an＋1＝2an＋2n＋1，得2n＋1bn＋1＝2n＋1bn＋2n＋1，两边同除以2n＋1，得bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1，∴{bn}为等差数列，首项b1＝＝1，公差为1，∴bn＝n(n∈N*)．(2)由bn＝n＝，得an＝n×2n，∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，两式相减，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2(n∈N*)．6．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：　(1)当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，所以a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，又2Sn＝a＋n－4，所以两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，即(an－1)2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1．若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1．而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此数列{an}为等差数列．(2)由(1)知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2．7．已知数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＝1－an．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn．解析：　(1)由Tn＝1－an得，当n≥2时，Tn＝1－，两边同时除以Tn，得－＝1．∵T1＝1－a1＝a1，∴a1＝，＝＝2，∴是首项为2，公差为1的等差数列．(2)由(1)知＝n＋1，则Tn＝，从而an＝1－Tn＝，故＝n．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴Sn＝．8．设数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝a＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n≥5时，an>0(n∈N*)．(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；(2)求{an}的前n项和Sn．解析：　(1)由4Sn＝a＋2an－3，得4Sn＋1＝a＋2an＋1－3，两式相减，得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0．当n≥5时，an>0，所以an＋1－an＝2，所以当n≥5时，{an}成等差数列．(2)当n＝1时，有4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1．又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，所以由(1)得an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，而a5>0，所以a1>0，从而a1＝3，所以an＝所以Sn＝9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9．(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d．由已知得即解得故an＝2n－1，n∈N*，Sn＝n2．(2)存在．由(1)知bn＝．要使b1，b2，bm成等差数列，则必有2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，整理得m＝3＋．因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4．故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0．(1)求a2，a3；(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．解析：　(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝，a3＝＝．(2)假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1．因为－＝－＝－＝＝－，又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．