高考 第10讲 等比数列的性质及应用

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第10讲   等比数列的性质及应用等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)，q＝(2)等距性：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am·an＝a．注意：在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．(3)单调性：若或⇔{an}递增．若或⇔{an}递减．q＝1⇔{an}为常数列，q＜0⇔{an}为摆动数列．(4)若{an}是等比数列，公比为q，则等距离取出若干项也构成一个等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比为qk的等比数列．(5)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．(7)等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，公比为qk (当公比q＝－1，k不能取正偶数)．注意：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．即当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．(8)若项数为2n，则＝q．(9)若项数为2n－1(n≥2)，则＝q．(10)分段求和：Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn．     考点一　性质(2)的应用[典例 1]　在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是(　　)A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．解析：　根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，由a3a7＝a，得a5＝－＝－．[典例 2]　公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)A．8　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．11解析：　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10．[典例 3]　在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．8－4解析：　在等比数列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8，故选C．[典例 4]　等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．3解析：　数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4．[典例 5]　等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)A．12　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．2＋log35解析：　由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10．[典例 6]　已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________． 解析：　因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为a1，由等比数列的性质有a3a5＝a，因为a3·a5＋a4＝72，则a＋a4＝72，∵a4＞0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a＝log287＝21．[典例 7]　在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．16解析：　由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋．因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2．[典例 8]　已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于(　　)A．2 020　　　　　　　　B．1 010　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．解析：　∵a1a2 020＝1，∴f(a1)＋f(a2 020)＝＋＝＋＝＋＝2，∵{an}为等比数列，则a1a2 020＝a2a2 019＝…＝a1 010a1 011＝1，∴f(a2)＋f(a2 019)＝2，…，f(a1 010)＋f(a1 011)＝2，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)＝2×1 010＝2 020．  【典例精练】1．等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　)A．－3　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．－4　　　　　　　　D．4解析：　∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得a3·a9＝a5·a7＝3．2．在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则＝(　　)A．－　　　　　　B．－　　　　　　C． 　　　　　　D．－或解析：　由题意可得a2a16＝2，又由等比数列的性质可知a2a16＝a＝2，所以a9＝±，所以＝＝a9＝±．故选D．3．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)A．2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．解析：　因为a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，所以a－4a4＋4＝0，所以a4＝2．又因为q3＝＝＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝．故选C．4．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．－9解析：　a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4．故选A．5．等比数列的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．解析：　由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，于是由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log232＝5．6．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．解析：　因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5．所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50．7．已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)等于(　　)A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．±解析：　由已知得a＋2a＝π，∴a＝，又a3·a5＝a＝，∴tan(a3·a5)＝．8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为(　　)A．16　　　　　　　　B．8　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．4解析：　因为a4与a14的等比中项为2，所以a4·a14＝a7·a11＝(2)2＝8，所以2a7＋a11≥2＝2＝8，所以2a7＋a11的最小值为8．  考点二　性质(7)的应用[典例 9]　已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)A．40　　　　　　　　B．60　　　　　　　　C．32　　　　　　　　D．50解析：　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B．[典例 10]　若等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝5，则＝________．解析：　由题可得公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，因为＝5，不妨设S2＝1，则S4＝5，所以S4－S2＝4，所以S8＝1＋4＋16＋64＝85，所以＝＝17．[典例 11]　已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)A．25　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．15　　　　　　　　D．10 解析：　在正项等比数列{an}中，Sn＞0．因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20．   【典例精练】1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝．故选A．2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于(　　)A．－510　　　　　　B．400　　　　　　C．400或－510　　　　　　D．30或40解析：　∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400．3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________．解析：　由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－．由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－．4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．解析：　法一　由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝．法二　因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a(a≠0)，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝．5．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝________．解析：　依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，由等比数列的性质，知数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－S6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8．  考点三　其他性质的应用[典例 12]　(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　)A．12　　　　　　　　B．24　　　　　　　　C．30　　　　　　　　D．32解析：　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32．[典例 13]　等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4解析：　设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N＋)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，解得a1＝3，故选C．[典例 14]　已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2解析：　由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1·a3·a5·a7·a9＝2，a2·a4·a6·a8·a10＝64，则q5＝＝32，则q＝2，故选C．[典例 15]　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)A．－3　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．3解析：　∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比数列{an}中，a＝a1a3，∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3．[典例 16]　数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)A．(3n－1)2 　　　　　B．(9n－1)　　　　　C．9n－1　　　　　D．(3n－1)解析：　∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．  【典例精练】1．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)A．－5　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．解析：　因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an．所以数列{an}是公比q＝3的等比数列，所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9．所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35．所以log35＝－log335＝－5．2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．解析：　由题意，得解得所以q＝＝＝2．3．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．解析：　由题意，得解得所以q＝＝＝2．4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．解析：　设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0．则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2．所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝．5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)A．210　　　　　　　　B．220　　　　　　　　C．216　　　　　　　　D．215解析：　因为a1a2a3＝a，a4a5a6＝a，a7a8a9＝a，…，a28a29a30＝a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230．所以a2a5a8…a29＝210．则a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29·q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220，故选B． 6．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1．解析：　(1)因为S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，所以Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2．当n＝1时，a1＝1，不适合上式．所以an＝(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝．所以a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝