高考 第16讲 数列的奇偶项讨论问题

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第16讲 数列的奇偶项讨论问题
数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
(2)通项公式分奇、偶项有不同表达式；
(3)含有(－1)n的类型；
(4)已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题．


考点一　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型
[典例 1]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n．
(1)求数列{an}的前100项和S100；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：　
(1)∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，
∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000．
(2)由题意，an＋1＋an＝4n，①，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②
由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3．
当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1，
当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1．
综上所述，an＝2n－1．
[典例 2]　在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*．
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn．
解析：　
(1)因为an·an＋1＝n，所以an＋1·an＋2＝n＋1，所以＝，即an＋2＝an．
因为bn＝a2n＋a2n－1，所以＝＝＝，
所以数列{bn}是公比为的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以bn＝×n－1＝，n∈N*．
(2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；
a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，所以a2n－1＝n－1，a2n＝n，
所以an＝
(3)因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－，
又S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－，所以Sn＝

【典例精练】
1．已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn．
解析：　
(1)若数列{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．
由an＋1＋an＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，
即2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－．
(2)由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)．
两式相减，得an＋2－an＝4．所以数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列．
数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，
所以an＝
①当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－2＋an－1)＋an
＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝；
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝．
∴Sn＝
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝pn＋1，其中p为常数．
(1)若a1，a2，a4成等比数列，求p的值；
(2)若p＝1，求数列{an}的前n项和Sn．
解析：　
(1)由an＋an＋1＝pn＋1，得a1＋a2＝p＋1，a2＋a3＝2p＋1，a3＋a4＝3p＋1，
所以a2＝p，a3＝p＋1，a4＝2p．
又因为a1，a2，a4成等比数列，所以a＝a1a4，即p2＝2p，又因为p≠0，所以p＝2．
(2)当p＝1时，an－1＋an＝n(n>1，n∈N)，
当n为偶数时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4＋…＋n＝＝；
当n为奇数时，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋3＋5＋…＋n＝＝，
综上，Sn＝
3．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*.
(1)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，0